量子統計力学を用いた緩和関数の決定
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/15 20:32 UTC 版)
「フーリエ変換NMR」の記事における「量子統計力学を用いた緩和関数の決定」の解説
詳細は「緩和関数」を参照 緩和関数が求まれば動磁化率が求まる。動磁化率が求まればエネルギー吸収速度や吸収係数を求めることが出来る(後述)。緩和関数の具体的な中身を知るには量子統計力学が必要である。つまりシュレディンガー方程式(またはフォン・ノイマン方程式)を解かなければならない。 t = − ∞ ∼ t 0 {\displaystyle t=-\infty \sim t_{0}} の間の状態は熱平衡状態であったとする．このときの状態は次の密度行列で記述される． ρ ′ = e − β ( H ^ − B 1 x M ) T r [ e − β ( H ^ − B 1 x M ) ] {\displaystyle \rho '={\frac {e^{-\beta ({\hat {H}}-\mathbf {B} _{1x}\mathbf {M} )}}{Tr[e^{-\beta ({\hat {H}}-\mathbf {B} _{1x}\mathbf {M} )}]}}} この時間発展はフォン・ノイマン方程式で記述されるので，時刻t t ( ≫ t 0 ) {\displaystyle t(\gg t_{0})} での磁化の期待値は次式のように書ける。 M ( t ) = T r [ ρ ′ ( t ) M ] = T r [ ρ ′ M ( t − t 0 ) ] {\displaystyle \mathbf {M} (t)=Tr[\rho '(t)\mathbf {M} ]=Tr[\rho '\mathbf {M} (t-t_{0})]} ここで M ( t − t 0 ) {\displaystyle \mathbf {M} (t-t_{0})} はハイゼンベルグ描像での磁化である． H ^ ≫ B 1 x M {\displaystyle {\hat {H}}\gg \mathbf {B} _{1x}\mathbf {M} } と近似することで次式を得る。 M ( t ) = M 0 + B 1 x T r [ ρ 0 ∫ 0 β e λ H ^ M e − λ H ^ M ( t − t 0 ) d λ ] − β B 1 x M 0 M 0 {\displaystyle \mathbf {M} (t)=\mathbf {M} _{0}+\mathbf {B} _{1x}Tr\left[\rho _{0}\int _{0}^{\beta }e^{\lambda {\hat {H}}}\mathbf {M} e^{-\lambda {\hat {H}}}\mathbf {M} (t-t_{0})\,d\lambda \right]-\beta \mathbf {B} _{1x}\mathbf {M} _{0}\mathbf {M} _{0}} 緩和関数の定義式と比較すると、動磁化率を定量化するために必要な緩和関数が次式で得られる。 ϕ ( τ ) = ∫ 0 β T r [ ρ 0 M M ( τ + i ℏ λ ) ] d λ − β M 0 M 0 {\displaystyle \phi (\tau )=\int _{0}^{\beta }Tr[\rho _{0}\mathbf {M} \mathbf {M} (\tau +i\hbar \lambda )]d\lambda -\beta \mathbf {M} _{0}\mathbf {M} _{0}}
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