部分集合の空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/19 23:12 UTC 版)
M を距離空間、 B × ( M ) {\displaystyle {\mathcal {B}}^{\times }(M)} をその上の空でない有界閉集合全体、 T B × ( M ) {\displaystyle {\mathcal {TB}}^{\times }(M)} を空でない全有界閉集合全体、 K × ( M ) {\displaystyle {\mathcal {K}}^{\times }(M)} を空でないコンパクト部分集合全体、 P f i n × ( M ) {\displaystyle {\mathcal {P}}_{\rm {fin}}^{\times }(M)} を空でない有限集合全体とする。 距離空間の空でない部分集合について、全有界であることと、ハウスドルフ距離の意味で有限集合の極限になることが同値（つまり P f i n × ( M ) ¯ = T B × ( M ) {\displaystyle {\overline {{\mathcal {P}}_{\rm {fin}}^{\times }(M)}}={\mathcal {TB}}^{\times }(M)} ）。 上からも明らかなように空でない全有界集合のハウスドルフ距離の意味での極限は全有界（つまり T B × ( M ) {\displaystyle {\mathcal {TB}}^{\times }(M)} は閉）。 M が完備なら B × ( M ) {\displaystyle {\mathcal {B}}^{\times }(M)} も完備（M は B × ( M ) {\displaystyle {\mathcal {B}}^{\times }(M)} の閉部分集合と見なせるので逆も真）。 K × ( M ) {\displaystyle {\mathcal {K}}^{\times }(M)} 上のハウスドルフ距離から入る距離位相はヴィートリス位相と一致する。 以下 M は完備距離空間とする。 距離の性質のハウスドルフ距離への遺伝空間＼性質有界固有コンパクト可分弧長測地固有かつ測地 B × ( M ) {\displaystyle {\mathcal {B}}^{\times }(M)} ◯ ◯ ◯ × ◯ × ◯ K × ( M ) {\displaystyle {\mathcal {K}}^{\times }(M)} ◯ ◯ ◯ ◯ × × ◯
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