部分距離
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/18 09:47 UTC 版)
部分距離 (partial metric) あるいはp距離 (pmetric) の概念は S. G. Matthews が領域理論の脈絡において導入したものである。p距離とは、大雑把に言えば、距離の公理から「同一点の距離はゼロである」という公理を除いたものになっている。各点はゼロでない大きさ（あるいは重み）を持つと言ってもよい。正式には、集合 X {\displaystyle X} 上のp距離とは、非負実数値函数 p : X × X → R {\displaystyle p\colon X\times X\to \mathbb {R} } であって、次の公理を満足するものである： p ( x , x ) = p ( x , y ) = p ( y , y ) {\displaystyle p(x,x)=p(x,y)=p(y,y)} ならば x = y {\displaystyle x=y} p ( x , x ) ≤ p ( x , y ) {\displaystyle p(x,x)\leq p(x,y)} p ( x , y ) = p ( y , x ) {\displaystyle p(x,y)=p(y,x)} p ( x , z ) ≤ p ( x , y ) + p ( y , z ) − p ( y , y ) {\displaystyle p(x,z)\leq p(x,y)+p(y,z)-p(y,y)} 三角不等式の最後の項は、 p ( x , y ) + p ( y , z ) {\displaystyle p(x,y)+p(y,z)} において y {\displaystyle y} の大きさ p ( y , y ) {\displaystyle p(y,y)} が重複して測られているので、それを補正するものと考えられる。p距離空間 X {\displaystyle X} には、開球 B ( x ; ε ) := { y ∈ X ∣ p ( x , y ) < p ( x , x ) + ε } {\displaystyle B(x;\varepsilon ):=\{y\in X\mid p(x,y)<p(x,x)+\varepsilon \}} を近傍基とすることで、自然に位相を定めることができる。この誘導位相に関して X {\displaystyle X} はT0空間を成す。一方でT1分離公理は必ずしも満たさないことが知られている。すなわち X {\displaystyle X} は対称（R0）ではない。このことは、上の開球の定義において、 y ∈ B ( x ; ε ) {\displaystyle y\in B(x;\varepsilon )} と x ∈ B ( y ; ε ) {\displaystyle x\in B(y;\varepsilon )} が必ずしも同値とならないことに因る。
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