込み入った例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/03/31 14:01 UTC 版)
多くの三角関数は、連続する項の間で畳み込みを起こさせる、階差としての表示をも持つ。たとえば ∑ n = 1 N sin ( n ) = ∑ n = 1 N 1 2 csc ( 1 2 ) ( 2 sin ( 1 2 ) sin ( n ) ) = 1 2 csc ( 1 2 ) ∑ n = 1 N ( cos ( 2 n − 1 2 ) − cos ( 2 n + 1 2 ) ) = 1 2 csc ( 1 2 ) ( cos ( 1 2 ) − cos ( 2 N + 1 2 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&{}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\sin \left(n\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\sum _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right)\end{aligned}}} といったような具合である。 f と g が多項式でそれらの商が部分分数に分解されるような形の和 ∑ n = 1 N f ( n ) g ( n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{f(n) \over g(n)}} でも、今考えたい差分による和をとる方法が有効でないこともある。特に、 ∑ n = 0 ∞ 2 n + 3 ( n + 1 ) ( n + 2 ) = ∑ n = 0 ∞ ( 1 n + 1 + 1 n + 2 ) = ( 1 1 + 1 2 ) + ( 1 2 + 1 3 ) + ( 1 3 + 1 4 ) + ⋯ ⋯ + ( 1 n − 1 + 1 n ) + ( 1 n + 1 n + 1 ) + ( 1 n + 1 + 1 n + 2 ) + ⋯ = ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2n+3}{(n+1)(n+2)}}&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)\\&{}=\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \\&{}\qquad \cdots +\left({\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{n}}\right)+\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}\right)+\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)+\cdots \\&{}=\infty \end{aligned}}} のように項がぜんぜん打ち消しあわない場合には無力である。 k を正の整数とすれば ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + k ) = H k k {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+k)}}={\frac {H_{k}}{k}}} となる（1/(k − 1) 以降の項がすべて打ち消されて消える）。ここで Hk は k-次調和数である。
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