ブール関数とは？わかりやすく解説

ブール関数（ブールかんすう、英: Boolean function）は、ブール領域の非負整数回の直積を定義域とし、ブール領域の元のうち片方を返す関数である。

f:\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}

ブール値関数の特殊なものである。

X = M = {1, 2, 3, …} であるとき、f は無限の「二値数列; binary sequence」すなわち 0 と 1 の無限列である。X = [k] = {1, 2, 3, …, k} であるとき、f は長さ k の二値数列である。そのような関数は $2^{2^{k}}$ 個存在する。これは計算複雑性理論における問題で基本的な役割を果たす。

効率的表現

（命題論理の）論理式で表現できるが、効率的な表現としては次のようなものがある。

二分決定図 (BDD)
否定標準形
Propositional Directed Acyclic Graph (PDAG)

簡単化

簡単な表現に変換する手法として次のようなものがある。

カット・アンド・トライ法

ブール代数の定義を用い、効率的な表現に変形していく。

ベン図

ベン図を用いて視覚的にわかりやすい表現にする。

以上は人間の直感によるものであり「変換する手法」と言えたものではない。

カルノー図法

カルノー図を用い、効率的な表現に変形していく。

クワイン・マクラスキー法

クワイン・マクラスキー法を用い、効率的な表現に変形していく。計算機で簡単化するのに適している。

標準形

選言標準形と連言標準形が代表的である。他に、リード-マラー標準形などがある。

リード-マラー標準形

リード-マラー標準形（en:Algebraic normal form）は、積（AND）の排他的論理和（XOR）による標準形である。

$f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\!$	$a_{0}+\!$
	$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{n}x_{n}+\!$
	$a_{1,2}x_{1}x_{2}+a_{n-1,n}x_{n-1}x_{n}+\!$
	$\ldots +\!$
	$a_{1,2,\ldots ,n}x_{1}x_{2}\ldots x_{n}\!$

ここで $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{1,2,\ldots ,n}\in \{0,1\}^{*}$ である。

従って、列 $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{1,2,\ldots ,n}$ の値の列もブール関数を一意に表している。ブール関数の代数的次数は、1つの（AND）項に現われる $x_{i}$ の個数で表される。つまり、 $f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}+x_{3}$ の次数は 1（線形）であり、 $f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}+x_{1}x_{2}x_{3}$ の次数は 3（立方）である。

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