誕生日のパラドックス
誕生日のパラドックス（たんじょうびのパラドックス、英: birthday paradox）とは「何人集まれば、その中に誕生日が同一の2人（以上）がいる確率が、50%を超えるか?」という問題から生じるパラドックスである。鳩の巣原理より、366人（閏日も考えるなら367人）が集まれば確率は100%となるが、その5分の1に満たない70人でもこの確率は99.9%を超え、50%を超えるのに必要な人数はわずか23人である。
誕生日のパラドックスの「パラドックス」は、論理的矛盾という意味ではなく、結果が一般的な直感に反するという意味でのパラドックスである。
この理論の背景には Z.E. Schnabel によって記述された「湖にいる魚の総数の推定[1]」がある。これは、統計学では標的再捕獲法 (capture‐recapture法) として知られている。
誕生日問題
上記の確率を求める問題やその類似問題は、誕生日問題とよばれる。
あなたが22人の人間がいる部屋に入ったとき、「あなたと同じ」誕生日の人がいる確率は50％よりずっと低い。これは、「あなた以外の人」同士の誕生日が同じであるという可能性は考慮されないからである。
それでは、n人の中で同じ誕生日の人が少なくとも2人いる場合の確率を計算する。閏年や双子は考えないものとし、誕生日は365日とも等確率であるとする。
まずは、n人の誕生日が全て異なる場合の確率 p1 を計算する。
2人目が1人目と異なっている誕生日である確率は、364/365 である。次に、3人目が1人目2人目と異なる誕生日である確率は 363/365 である。同様に4人目は 362/365、…、n人目は (365-n+1)/365 となる。 つまり、n人の誕生日が全て異なる確率は次のようになる。
誕生日問題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/11/14 02:58 UTC 版)
「誕生日のパラドックス」の記事における「誕生日問題」の解説
上記の確率を求める問題やその類似問題は、誕生日問題とよばれる。 あなたが22人の人間がいる部屋に入ったとき、「あなたと同じ」誕生日の人がいる確率は50％よりずっと低い。これは、「あなた以外の人」同士の誕生日が同じであるという可能性は考慮されないからである。 それでは、n人の中で同じ誕生日の人が少なくとも2人いる場合の確率を計算する。閏年や双子は考えないものとし、誕生日は365日とも等確率であるとする。 まずは、n人の誕生日が全て異なる場合の確率 p1 を計算する。 2人目が1人目と異なっている誕生日である確率は、364/365 である。次に、3人目が1人目2人目と異なる誕生日である確率は 363/365 である。同様に4人目は 362/365、…、n人目は (365-n+1)/365 となる。つまり、n人の誕生日が全て異なる確率は次のようになる。 p 1 ( n ) = 364 365 ⋅ 363 365 ⋅ 362 365 ⋅ ⋯ ⋅ 365 − n + 1 365 = 365 ! 365 n ( 365 − n ) ! {\displaystyle p_{1}(n)={\frac {364}{365}}\cdot {\frac {363}{365}}\cdot {\frac {362}{365}}\cdot \cdots \cdot {\frac {365-n+1}{365}}={365! \over 365^{n}(365-n)!}} よって、n人の中で同じ誕生日の人が少なくとも2人いる場合の確率 p2 は、 p 2 ( n ) = 1 − 365 ! 365 n ( 365 − n ) ! {\displaystyle p_{2}(n)=1-{365! \over 365^{n}(365-n)!}} となり、n = 23 のとき、p2 = 0.507… となる。 一方、先ほどの、n人の部屋に"あなた"が入ったときに、あなたと同じ誕生日の人がいる確率 p3 は、 p 3 ( n ) = 1 − ( 364 365 ) n {\displaystyle p_{3}(n)=1-\left({\frac {364}{365}}\right)^{n}} となる。n = 23 ならば、p3 = 0.0611… である。n が 253 のときに初めて p3 が 0.5 以上となる。
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