組み紐群

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ブレイド群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/07/16 06:20 UTC 版)

数学においてブレイド群（braid group、組みひも群とも呼ぶ）とは、直観的には平行に張られた複数の紐（braid）において、その隣り合う紐を交差させる操作を生成元とし、常に同じ絡まり方を生じる異なる交差操作の等式を関係式とする群である。特に紐がn本のときこの群をB_nと書く。

ブレイド群は1925年にエミール・アルティンにより初めて明確に定義された。しかしそれ以前に配置空間の基本群として、1891年のアドルフ・フルヴィッツのモノドロミーの論文において暗に現れており、更に遡ってガウスもアルティンと同様の着想を得ていたとも考えられている。

定義

特殊なnの場合

以下n=4とする。

一列に並んだ4点が二組あり、それらの間を結ぶ平行な紐が4本ある下図（以下eにより参照）のような状況を考える。

$e$ $\sigma _{1}$ $\sigma _{2}$ $\sigma _{3}$

$\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$
$\sigma _{3}$
$\sigma _{2}$
$\sigma _{3}\sigma _{2}$
$\sigma _{1}^{-1}\sigma _{3}^{-1}$
$\sigma _{1}\sigma _{3}^{-1}$
$\sigma _{3}^{-2}$

ライデマイスター移動III型

1. $\sigma _{1}\sigma _{3}=\sigma _{3}\sigma _{1}$
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