素因数分解の一意性を用いた方法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/08 03:29 UTC 版)
「2の平方根」の記事における「素因数分解の一意性を用いた方法」の解説
素因数分解の一意性（1 より大きな整数の素因数分解は、素数の積の順序を除いて一意である）ことを利用する。 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} が有理数であると仮定する。 2 = a b {\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}} （a, bは互いに素な整数）と表す。（このような分数を既約分数と呼ぶ）。 2 は平方数でないため、分母 b は 1 ではない。 a, b は互いに素なので、b を割り切り a を割り切れない素数 p が存在する。 a の平方 a2 の素因数分解は a の素因数をそれぞれ二乗したものになる。 従って素因数の一意性から p2 は a2 を割り切れない。 a 2 b 2 {\displaystyle {\frac {a^{2}}{b^{2}}}} は既約分数であり整数ではない。 よって 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} は有理数ではない。 この証明はある整数の k 乗でない整数の k 乗根が無理数である証明に拡張できる。
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