等間隔の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/11 10:24 UTC 版)
詳細は「差分商」を参照 節点（の x-座標）が等間隔に並んでいるときには、前進差分（あるいは後退・中央の各有限差分）の定める差分商によって差商を記述することができる。この場合は、より一般の差商よりも計算が楽になる。注目すべきは、差商の分母が既知であるならば、差分商から差商を容易に回復することができることである。 すなわち、上と同じ節点のデータが与えられ、適当な数 h > 0 に対して xν = x0 + νh (ν = 0, …, n) となっているとき、前進差分は Δ ( 0 ) y i := y i , Δ ( k ) y i := Δ ( k − 1 ) y i + 1 − Δ ( k − 1 ) y i ( k ≥ 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ^{(0)}y_{i}&:=y_{i},\\\Delta ^{(k)}y_{i}&:=\Delta ^{(k-1)}y_{i+1}-\Delta ^{(k-1)}y_{i}\quad (k\geq 1)\end{aligned}}} で定義される。前進差分と差商との関係は f [ x 0 , x 1 , … , x k ] = 1 k ! h k Δ ( k ) f ( x 0 ) {\displaystyle f[x_{0},x_{1},\ldots ,x_{k}]={\frac {1}{k!h^{k}}}\Delta ^{(k)}f(x_{0})} と書ける。
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