磁気ヘリシティの保存
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/01/06 06:33 UTC 版)
「磁気ヘリシティ」の記事における「磁気ヘリシティの保存」の解説
磁気ヘリシティは閉空間において保存量である。 ここで、磁気ヘリシティ密度 h 0 = A ⋅ B {\displaystyle h_{0}={\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {B}}} を考える。 Maxwell方程式より、 ∂ A / ∂ t = − E − ∇ ϕ {\displaystyle \partial {\boldsymbol {A}}/\partial t=-{\boldsymbol {E}}-\nabla \phi } である。 磁気ヘリシティ密度の時間変化は以下のようになる。 ∂ h 0 ∂ t + ∇ ⋅ h = − 2 E ⋅ B {\displaystyle {\frac {\partial h_{0}}{\partial t}}+\nabla \cdot {\boldsymbol {h}}=-2{\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {B}}} ここで、 h = E × A + ϕ B {\displaystyle {\boldsymbol {h}}={\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {A}}+\phi {\boldsymbol {B}}} である。 E {\displaystyle {\boldsymbol {E}}} がポテンシャル電場である場合( E = − ∇ ϕ {\displaystyle {\boldsymbol {E}}=-\nabla \phi } )、 ∇ ⋅ h = − 2 E ⋅ B {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {h}}=-2{\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {B}}} である。よって、 ∂ h 0 ∂ t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial h_{0}}{\partial t}}=0} 理想MHDである場合( E = − V × B {\displaystyle {\boldsymbol {E}}=-{\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {B}}} )、以下のように展開できる。 ∂ h 0 ∂ t + ∇ ⋅ ( h 0 V − ( A ⋅ V ) B ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial h_{0}}{\partial t}}+\nabla \cdot (h_{0}{\boldsymbol {V}}-({\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {V}}){\boldsymbol {B}})=0} この式を、境界上で n ⋅ B = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {B}}=0} である領域で積分すると、 ∫ ( ∂ h 0 ∂ t + ∇ ⋅ ( h 0 V ) ) d 3 r = ∂ H ∂ t + ∫ h 0 V ⋅ n d 2 r {\displaystyle \int \left({\frac {\partial h_{0}}{\partial t}}+\nabla \cdot (h_{0}{\boldsymbol {V}})\right)\,d^{3}{\mathbf {r} }={\frac {\partial H}{\partial t}}+\int h_{0}{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {n}}\,d^{2}{\mathbf {r} }} 境界上において V ⋅ n = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {n}}=0} である場合、磁気ヘリシティの時間変化は0である。 以上により、磁気ヘリシティは保存量である。 （保存量であるために、磁気ヘリシティは閉空間内で定義されなければならない。）
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