相平面上の軌道
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/13 02:12 UTC 版)
速度 dx/dt を改めて変数 v と表し、x と v の組を状態点とすれば、単振動のxv-相平面における軌道について考えられる。このとき、単振動は次のような2変数の微分方程式系で表される。 { d x d t = v d v d t = − ω 2 x {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {dx}{dt}}=v\\{\dfrac {dv}{dt}}=-\omega ^{2}x\end{cases}}} 上式の第1式両辺に ω2x を掛けたものと、上式の第2式両辺に v を掛けたものとを足し合わせると、 ω 2 x d x d t + v d v d t = 0 {\displaystyle \omega ^{2}x{\dfrac {dx}{dt}}+v{\dfrac {dv}{dt}}=0} という式が得られる。これを t で積分し、積分定数を C とすれば、次のような式になる。 ω 2 2 x 2 + 1 2 v 2 = C {\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}v^{2}=C} したがって、xv-相平面上での単振動の軌道は楕円になる。この楕円軌道は、時間経過に従って時計回りに進む。上平面 (v > 0) では、dx/dt が正なので軌道は右方向へ進む。下平面 (v < 0) では、dx/dt が負なので軌道は左方向へ進む。
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