留数の方法を使う
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/30 22:43 UTC 版)
i の周りでの f (z) のローラン展開を考える（i は考える必要のある唯一の特異点である）。すると f ( z ) = − 1 4 ( z − i ) 2 + − i 4 ( z − i ) + 3 16 + i 8 ( z − i ) + − 5 64 ( z − i ) 2 + ⋯ {\displaystyle f(z)={-1 \over 4(z-i)^{2}}+{-i \over 4(z-i)}+{3 \over 16}+{i \over 8}(z-i)+{-5 \over 64}(z-i)^{2}+\cdots } となる（この級数の導出はローラン級数（英語版）の計算例を参照）。 留数が −i/4 であることは見た目から明らかである（これを確かめるには、上の等式に z − i を掛けたものを考え、コーシーの積分公式を用いて両辺を積分すると、第二項のみが 0 でない値となる）。よって留数定理より ∮ C f ( z ) d z = ∮ C 1 ( z 2 + 1 ) 2 d z = 2 π i R e s z = i f = π 2 . ◻ {\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\oint _{C}{1 \over (z^{2}+1)^{2}}\,dz=2\pi i\,\mathrm {Res} _{z=i}f={\frac {\pi }{2}}.\quad \square } したがって前と同じ結果が得られた。
※この「留数の方法を使う」の解説は、「複素線積分」の解説の一部です。
「留数の方法を使う」を含む「複素線積分」の記事については、「複素線積分」の概要を参照ください。
- 留数の方法を使うのページへのリンク
