次元定理とは? わかりやすく解説

階数・退化次数の定理

(次元定理 から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/07/31 14:07 UTC 版)

ナビゲーションに移動 検索に移動

数学線型代数学の分野における階数・退化次数の定理(かいすう・たいかじすうのていり、: rank-nullity theorem)とは、最も簡単な場合、ある行列階数(rank)と退化次数(nullity)の和は、その行列の列の数に等しいということを述べた定理である。次元定理[1]とも呼ばれる。

行列

A がある上の m×n 行列(行の数が m で、列の数が n)であるなら、

rank A + nullity A = n

が成立する[2]

線型写像

この定理は線型写像に対しても同様に適用される。VW をある体上のベクトル空間とし、T : VW をある線型写像とする。このとき、T の階数は T の像の次元であり、T の退化次数は Tの次元である。したがって、

dim (im T) + dim (ker T) = dim V

が成立する。あるいは、同値であるが

rank T + nullity T = dim V

が成立する。これは実際、VW が無限次元であることも許しているため、前述の行列の場合よりもより一般的な定理となっている。

この定理の内容は、分割補題英語版あるいは後述の証明を用いることで、次元のみならず、空間の間の同型写像に関する内容へと精練することが出来る。

より一般的に、線型代数学の基本定理によって関連付けられる像、核、余像、余核について考えることが出来る。

証明

ここでは二つの証明を与える。初めの証明では、線型変換のための記号を用いるが、T(x) = Ax と書くことによって簡単に行列の場合にも適用できる(ここで A はある m × n 行列)。二つ目の証明では、階数r のある m × n 行列 A に関する同次系について考え、A の零空間を張る nr 個の線型独立な解が存在することを陽的に示す。

第一の証明

{u1, ..., um}が ker T の基底を形成すると仮定する。この基底を、V の基底を形成するように {u1, ..., um, w1, ..., wn} へと拡張することが出来る。ker T の次元は m であり、V の次元は m+n であるため、image T の次元が n であることを示せば十分である。

{Tw1, ..., Twn} が image T の基底であることを見る。vV 内の任意のベクトルとする。このとき、以下を満たすスカラーが一意に存在する:

したがって、{Tw1, ..., Twn} は image T を張る基底であることが分かる。

あとは、このリストが余分でないことを示せばよい。すなわち、{Tw1, ..., Twn} が線型独立であることを示せばよい。その証明は、これらのベクトルの線型結合がゼロであるための必要十分条件が、その各ベクトルの係数もゼロであることを示すことで達成される。今

とする。すると、uiker T を張ることから、

を満たすようなスカラー di の集合が存在することが分かる。しかし、{u1, ,,,, um, w1, .., wn} は V の基底を形成するものであるため、すべての ci および di はゼロでなければならない。したがって、{Tw1, ..., Twn} は線型独立であり、実際 image T の基底である。このことから、image T の次元は n であることが分かり、目標は達成された。

より抽象的な言い方をすると、写像 T: V → image T 分裂する。

第二の証明

A を、r 個の線型独立な列を含む m × n 行列とする(すなわち、A の階数は r である)。以下では次を示す:

  1. 同次系 Ax = 0 に対して nr 個の線型独立な解からなる集合が存在する
  2. その他のすべての解は、それら nr 個の解の線型結合で与えられる。

すなわち言い換えると、列ベクトルが A の零空間の基底を形成するようなある n × (nr) 行列 X を、以下では作る。

一般性を失うことなく、A の初めの r 個の列が線型独立であると仮定できる。すると、r 個の線型独立な列ベクトルを含むある m × r 行列の A1 と、nr 個の各列が A1 の列ベクトルの線型結合で与えられるある m × (nr) 行列の A2 を用いて、A = [A1:A2] と書くことが出来る。このことは、ある r × (nr) 行列 B に対して A2 = A1 B が成立することを意味し(階数因数分解を参照)、したがって A = [A1:A1B] である。

(nr) × (nr) 単位行列 Inr に対し、

とする。この X

を満たす n × (nr) 行列であることに注意されたい。したがって、Xnr 個の各列は、Ax = 0 の特殊解である。さらに、以下に示すように Xu = 0 であれば u = 0 であることから、Xnr 個の列は線型独立である:

したがって、X の列ベクトルは Ax = 0 に対する nr 個の線型独立な解の集合を構成する。

続いて、Ax = 0 の解はどのようなものでも X の列ベクトルの線型結合で表現されることを示す。このことを示すために、Au = 0 を満たすような任意のベクトル

を定める。A1 の列ベクトルは線型独立であることにより、A1x = 0 であれば x = 0 が成立することに注意されたい。したがって、

が成立する。これより、Ax = 0 の解であるような任意のベクトル u は、X の列ベクトルで与えられる nr 個の特殊解の線型結合でなければならない、ということが証明される。さらにすでに、X の列ベクトルは線型独立であることが分かっている。したがって、X の列ベクトルは A零空間の基底を形成する。すると、A退化次数nr である。rA の階数に等しいために、rank A + nullity A = n が成立する。QED.

再定式化と一般化

階数・退化次数の定理は、代数学の第一同型定理のベクトル空間の場合に対する内容の一つである。分割補題英語版へと一般化される。

より現代的な言葉を用いると、この定理はまた次のように記述することが出来る:

0 → UVR → 0

をベクトル空間の短完全系列とすると、

dim U + dim R = dim V

が成立する。ここで Rim T の役割を担い、Uker T である。すなわち、

である。

有限次元の場合、この定式化は一般化しやすいものとなる:

0 → V1V2 → ⋯ → Vr → 0

が有限次元ベクトル空間の完全系列であるなら、

が成立する。

有限次元ベクトル空間に対する階数・退化次数の定理は、線型写像の「指数」(index)を用いて定式化することも出来る。有限次元の V および W に対し、ある線型写像 T : VW の指数は

index T = dim(ker T) − dim(coker T)

で定義される。直感的に、dim(ker T) は方程式 Tx = 0 を満たす線型独立な解 x の個数であり、dim(coker T)Tx = y を解くことが出来るように y について課すべき独立な制限の個数である。有限次元ベクトル空間に対する階数・退化次数の定理は、次の式と同値である:

index T = dim(V) − dim(W).

考えている空間における線型写像 T の指数は、T について詳細な解析を行うことなく読み取ることが出来るということが分かっている。この影響は、より深い結果に対しても同様に現れる:アティヤ=シンガーの指数定理によると、ある微分作用素の指数はその考えている空間の幾何によって読み取ることが出来るとされている。

注釈

  1. ^ 中原幹夫 『量子物理学のための線形代数』 培風館、2016年、71頁。ISBN 978-4-563-02516-8 
  2. ^ Meyer (2000), page 199.

参考文献


次元定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/08/21 06:57 UTC 版)

カントール集合」の記事における「次元定理」の解説

カントール集合本質的性質のひとつは、任意の与えられハウスドルフ次元 r に対すフラクタル十分に与えることである。 定理 (Hausdorf dimension theorem) 任意の r > 0 に対して、n ≥ ⌈r⌉ なる n をとれば、n-次元ユークリッド空間 Rn におけるハウスドルフ次元 r のフラクタル非可算存在する

※この「次元定理」の解説は、「カントール集合」の解説の一部です。
「次元定理」を含む「カントール集合」の記事については、「カントール集合」の概要を参照ください。

ウィキペディア小見出し辞書の「次元定理」の項目はプログラムで機械的に意味や本文を生成しているため、不適切な項目が含まれていることもあります。ご了承くださいませ。 お問い合わせ


英和和英テキスト翻訳>> Weblio翻訳
英語⇒日本語日本語⇒英語
  

辞書ショートカット

すべての辞書の索引

「次元定理」の関連用語

次元定理のお隣キーワード
検索ランキング

   

英語⇒日本語
日本語⇒英語
   



次元定理のページの著作権
Weblio 辞書 情報提供元は 参加元一覧 にて確認できます。

   
ウィキペディアウィキペディア
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License.
この記事は、ウィキペディアの階数・退化次数の定理 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。 Weblio辞書に掲載されているウィキペディアの記事も、全てGNU Free Documentation Licenseの元に提供されております。
ウィキペディアウィキペディア
Text is available under GNU Free Documentation License (GFDL).
Weblio辞書に掲載されている「ウィキペディア小見出し辞書」の記事は、Wikipediaのカントール集合 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。

©2025 GRAS Group, Inc.RSS