構造の類と種とは? わかりやすく解説

構造の類と種

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/02/17 04:37 UTC 版)

代数的構造」の記事における「構造の類と種」の解説

代数系 (A, R) と (B, S) とは、それぞれの代数構造算法族) R と S とが項数込めて等しいか同一視できるとき、同類であるという(項数については算法の項参照)。例えば群は、積だけを算法とする代数系とみなせば半群同類であるが、各元にその逆元対応させる写像も群の(単項の)算法含めて考えると、半群とは同類ではない。そして群をそのように半群同類でない代数系として定義する方が、代数系の論としては正当で、理論上便利なことがある群論参照)。 また、環を加法と乗法算法とする代数系とみなし、束を結びと交わり算法とする代数系とみなせば、加法 x + y と結び x ∨ y 、乗法 x × y と交わり x ∧ y とを同一視することによって、この両者同類代数系となる。 しかし、環における加法乗法と束における結び・交わりとは、異な法則に従う。例えば、環での加法乗法分配律 x × (y + z) = (x × y) + (x × z) に従うが、束での結び・交わりは必ずしも分配律 x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) には従わないまた、束での交わり・結びは冪等律 x ∧ x = x, x ∨ x = x に従うが、環での加法乗法冪等x × x = x, x + x = x に必ずしも従わない。 そこで、同類代数系をさらに「それらの算法どういう法則に従うか」によって分類して種に分けてそれぞれの種に属す代数系まとめて抽象化し論ずるのが普通である。歴史的には、半群群・環多元環・体・束などはそうやって出来た抽象概念である。

※この「構造の類と種」の解説は、「代数的構造」の解説の一部です。
「構造の類と種」を含む「代数的構造」の記事については、「代数的構造」の概要を参照ください。

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