極分解とひずみテンソル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/30 08:32 UTC 版)
変形勾配は極分解定理（英語版）により次のように2つのテンソルの積に分解できる。 F = V R = R U {\displaystyle F=VR=RU} ここでR は直交テンソルである。V は左ストレッチテンソル（英: left stretch tensor）、U は右ストレッチテンソル（英: right stretch tensor）と呼ばれ、それぞれ正定値対称テンソルである。この分解は、任意の変形は剛体回転R とストレッチテンソルV , U の主方向への伸縮との重ね合わせで表現できるという幾何学的意味を持つ。 さらにここから以下のテンソルが定義される。ここでu = x - X は変位ベクトルである。 左コーシー・グリーンテンソル、右コーシー・グリーンテンソル B = V 2 = F F T , C = U 2 = F T F {\displaystyle B=V^{2}=FF^{\mathrm {T} },\quad C=U^{2}=F^{\mathrm {T} }F} アルマンシー（Almansi）のひずみテンソル e = 1 2 ( I − B − 1 ) , e i j = 1 2 ( ∂ u i ∂ x j + ∂ u j ∂ x i − ∂ u k ∂ x i ∂ u k ∂ x j ) {\displaystyle {\begin{aligned}e&={\frac {1}{2}}(I-B^{-1}),\\e_{ij}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right)\end{aligned}}} グリーンのひずみテンソル E = 1 2 ( C − I ) , E i j = 1 2 ( ∂ u i ∂ X j + ∂ u j ∂ X i + ∂ u k ∂ X i ∂ u k ∂ X j ) {\displaystyle {\begin{aligned}E&={\frac {1}{2}}(C-I),\\E_{ij}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial X_{i}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial X_{j}}}\right)\end{aligned}}} これらのテンソルを用いると、物体内の距離dX , dx の変化は次のように記述できる。 | d x | 2 − | d X | 2 = 2 d x T e d x = 2 d X T E d X {\displaystyle |\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}|^{2}-|\mathrm {d} {\boldsymbol {X}}|^{2}=2\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}^{\mathrm {T} }e\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}=2\mathrm {d} {\boldsymbol {X}}^{\mathrm {T} }E\mathrm {d} {\boldsymbol {X}}} 微小変形においては、アルマンシーのひずみテンソルとグリーンのひずみテンソルは一致する。
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