最尤推定量としての導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/06 07:23 UTC 版)
「カプラン＝マイヤー推定量」の記事における「最尤推定量としての導出」の解説
カプラン=マイヤー推定量は、ハザード関数の最尤推定から導出できる。より具体的には、イベントの数を d i {\displaystyle d_{i}} 、時刻 t i {\displaystyle t_{i}} でのリスクのある個人の総数を n i {\displaystyle n_{i}} とすると、離散ハザード率 h i {\displaystyle h_{i}} は、時刻 t i {\displaystyle t_{i}} でイベントが発生した個人の確率として定義できる。この場合、生存率は次のように定義でき、 S ( t ) = ∏ i : t i ≤ t ( 1 − h i ) {\displaystyle S(t)=\prod \limits _{i:\ t_{i}\leq t}(1-h_{i})} 時刻 t i {\displaystyle t_{i}} までのハザード関数に対する尤度関数は、 L ( h j : j ≤ i ∣ d j : j ≤ i , n j : j ≤ i ) = ∏ j = 1 i h j d j ( 1 − h j ) n j − d j {\displaystyle {\mathcal {L}}(h_{j:j\leq i}\mid d_{j:j\leq i},n_{j:j\leq i})=\prod _{j=1}^{i}h_{j}^{d_{j}}(1-h_{j})^{n_{j}-d_{j}}} となり、したがって対数尤度は次のようになる。 log ( L ) = ∑ j = 1 i ( d j log ( h j ) + ( n j − d j ) log ( 1 − h j ) ) {\displaystyle \log({\mathcal {L}})=\sum _{j=1}^{i}\left(d_{j}\log(h_{j})+(n_{j}-d_{j})\log(1-h_{j})\right)} h i {\displaystyle h_{i}} に対する対数尤度の最大値は、 ∂ log ( L ) ∂ h i = d i h ^ i − n i − d i 1 − h ^ i = 0 ⇒ h ^ i = d i n i {\displaystyle {\frac {\partial \log({\mathcal {L}})}{\partial h_{i}}}={\frac {d_{i}}{{\widehat {h}}_{i}}}-{\frac {n_{i}-d_{i}}{1-{\widehat {h}}_{i}}}=0\Rightarrow {\widehat {h}}_{i}={\frac {d_{i}}{n_{i}}}} と求められる。ここでハット記号（ ^ {\displaystyle {\hat {}}} ）は最尤推定を表すのに用いられている。この結果から、次のように書くことができる。 S ^ ( t ) = ∏ i : t i ≤ t ( 1 − h ^ i ) = ∏ i : t i ≤ t ( 1 − d i n i ) {\displaystyle {\widehat {S}}(t)=\prod \limits _{i:\ t_{i}\leq t}\left(1-{\widehat {h}}_{i}\right)=\prod \limits _{i:\ t_{i}\leq t}\left(1-{\frac {d_{i}}{n_{i}}}\right)}
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