時間依存の常微分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/12 08:24 UTC 版)
「フロー (数学)」の記事における「時間依存の常微分方程式」の解説
時間依存のベクトル場 F: Rn×R→Rn の場合、φt,t0(x0) = x(t) と書くことが出来る。ここで x: R→Rn は次の微分方程式の解である： x ˙ ( t ) = F ( x ( t ) , t ) , x ( t 0 ) = x 0 . {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}(t)={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}}(t),t),\qquad {\boldsymbol {x}}(t_{0})={\boldsymbol {x}}_{0}.} φ : ( R n × R ) × R → R n × R ; φ ( x 0 , t 0 , t ) = ( φ t , t 0 ( x 0 ) , t + t 0 ) {\displaystyle \varphi :(\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} )\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ;\qquad \varphi ({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0},t)=(\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),t+t_{0})} φ ( φ ( x 0 , t 0 , t ) , s ) = φ ( φ t , t 0 ( x 0 ) , t + t 0 , s ) = ( φ s , t + t 0 ( x 0 ) , s + t + t 0 ) = φ ( x 0 , t 0 , s + t ) . {\displaystyle \varphi (\varphi ({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0},t),s)=\varphi (\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),t+t_{0},s)=(\varphi ^{s,t+t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),s+t+t_{0})=\varphi ({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0},s+t).} G ( x , t ) := ( F ( x , t ) , 1 ) , y ( t ) := ( x ( t ) , t + t 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {G}}({\boldsymbol {x}},t):=({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}},t),1),\qquad {\boldsymbol {y}}(t):=({\boldsymbol {x}}(t),t+t_{0})} y ˙ ( s ) = G ( y ( s ) ) , y ( 0 ) = ( x 0 , t 0 ) {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {y}}}(s)={\boldsymbol {G}}({\boldsymbol {y}}(s)),\qquad {\boldsymbol {y}}(0)=({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0})} の解であることと、x(t) が元の時間依存の初期値問題の解であることは同値である。するとさらに、写像 φ は時間独立なベクトル場 G のフローとなる。
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