時間依存シュレディンガー方程式による導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/08/21 09:20 UTC 版)
「リップマン–シュウィンガー方程式」の記事における「時間依存シュレディンガー方程式による導出」の解説
時間依存シュレディンガー方程式は次のように与えられる。 ( i ℏ ∂ ∂ t − H ^ 0 ) | ψ ( t ) ⟩ = V | ψ ( t ) ⟩ ⋯ ( 1 ) {\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-{\hat {H}}_{0}\right)|\psi (t)\rangle =V|\psi (t)\rangle \quad \cdots (1)} ( i ℏ ∂ ∂ t − H ^ 0 ) G + ( t , t ′ ) = δ ( t − t ′ ) {\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-{\hat {H}}_{0}\right)G^{+}(t,t')=\delta (t-t')} これを t < t ′ {\displaystyle t<t'} のとき G + ( t , t ′ ) = 0 {\displaystyle G^{+}(t,t')=0} となるとして解くと、次のような遅延グリーン関数が得られる。 G + ( t , t ′ ) = − i ℏ θ ( t − t ′ ) e i H 0 ( t − t ′ ) / ℏ {\displaystyle G^{+}(t,t')=-{\frac {i}{\hbar }}\theta (t-t')e^{iH_{0}(t-t')/\hbar }} この G + ( t , t ′ ) {\displaystyle G^{+}(t,t')} を(1)式の両辺に掛けて時間で積分すると、 | ψ + ( t ) ⟩ = | ϕ ( t ) ⟩ + ∫ − ∞ + ∞ G + ( t , t ′ ) V | ψ + ( t ) ⟩ d t ′ ⋯ ( 2 ) {\displaystyle |\psi ^{+}(t)\rangle =|\phi (t)\rangle +\int _{-\infty }^{+\infty }G^{+}(t,t')V|\psi ^{+}(t)\rangle dt'\quad \cdots (2)} ただし | ϕ ( t ) ⟩ {\displaystyle |\phi (t)\rangle } は次を満たす。 ( i ℏ ∂ ∂ t − H ^ 0 ) | ϕ ( t ) ⟩ = 0 {\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-{\hat {H}}_{0}\right)|\phi (t)\rangle =0} ここで | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle } と | ϕ ( t ) ⟩ {\displaystyle |\phi (t)\rangle } として、 H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} と H ^ 0 {\displaystyle {\hat {H}}_{0}} の固有状態を考える。 | ψ ( t ) ⟩ = | ψ ⟩ e i E t / ℏ {\displaystyle |\psi (t)\rangle =|\psi \rangle e^{iEt/\hbar }} | ϕ ( t ) ⟩ = | ϕ ⟩ e i E t / ℏ {\displaystyle |\phi (t)\rangle =|\phi \rangle e^{iEt/\hbar }} V ^ → lim η → 0 V ^ e η t {\displaystyle {\hat {V}}\to \lim _{\eta \to 0}{\hat {V}}e^{\eta t}} | ψ + ⟩ = | ϕ ⟩ − i ℏ lim t ″ → − ∞ ∫ t ″ 0 exp ( i ( H ^ 0 − E − i η ℏ ) t ′ / ℏ ) V ^ | ψ + ⟩ d t ′ = | ϕ ⟩ − 1 H ^ 0 − E − i η ℏ [ 1 − lim t ″ → − ∞ exp ( [ i ( H ^ 0 − E ) / ℏ + η ] t ″ ) ] V ^ | ψ + ⟩ . {\displaystyle {\begin{aligned}|\psi ^{+}\rangle &=|\phi \rangle -{\frac {i}{\hbar }}\lim _{t''\to -\infty }\int _{t''}^{0}\exp(i({\hat {H}}_{0}-E-i\eta \hbar )t'/\hbar ){\hat {V}}|\psi ^{+}\rangle \,dt'\\&=|\phi \rangle -{\frac {1}{{\hat {H}}_{0}-E-i\eta \hbar }}\left[1-\lim _{t''\to -\infty }\exp({[i({\hat {H}}_{0}-E)/\hbar +\eta ]t''})\right]{\hat {V}}|\psi ^{+}\rangle .\end{aligned}}} t ″ → − ∞ {\displaystyle t''\to -\infty } とすることでリップマン–シュウィンガー方程式が得られる。
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