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リップマン–シュウィンガー方程式 （リップマン–シュウィンガーほうていしき、英語 : Lippmann–Schwinger equation ）またはLS方程式 は量子力学 の散乱理論 における基礎方程式 である。
|
ψ
(
±
)
⟩
=
|
ϕ
⟩
+
G
0
^
±
V
^
|
ψ
(
±
)
⟩
.
{\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\hat {G_{0}}}^{\pm }{\hat {V}}|\psi ^{(\pm )}\rangle .\,}
ここで、
|
ψ
(
±
)
⟩
{\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle }
状態ベクトル 、
|
ϕ
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle }
自由粒子 の状態ベクトル、
G
0
^
±
{\displaystyle {\hat {G_{0}}}^{\pm }}
グリーン演算子 であり、
G
0
^
±
≡
1
E
−
H
0
^
±
i
ϵ
.
{\displaystyle {\hat {G_{0}}}^{\pm }\equiv {\frac {1}{E-{\hat {H_{0}}}\pm i\epsilon }}.}
+
{\displaystyle +}
−
{\displaystyle -}
この方程式は時間依存シュレーディンガー方程式 と定常状態のシュレーディンガー方程式のどちらからも導出することができる。よってリップマン–シュウィンガー方程式は、散乱過程を定常状態として扱う場合と時間発展を追って扱う場合のどちらでも用いることができるため便利である。LS方程式は，散乱は時間発展による状態の転移であるという量子力学の考え方に沿った方程式であるため、散乱体が多粒子から構成されていて複雑な内部構造を持つ場合にも適応できる極めて一般的な方程式である。その場合には、LS方程式の右辺の
H
0
^
{\displaystyle {\hat {H_{0}}}}
V
^
{\displaystyle {\hat {V}}}
[1]
導出 定常状態のシュレディンガー方程式による導出 散乱状態を定常状態と見なせる場合を考える。弾性散乱 がこれに対応する。
入射してくる自由粒子のハミルトニアンを
H
0
^
{\displaystyle {\hat {H_{0}}}}
エネルギー固有値 ・エネルギー固有状態 の組は、以下の固有値関係を満たさなければならない。
H
0
^
|
ϕ
⟩
=
E
|
ϕ
⟩
⋯
(
1
)
{\displaystyle {\hat {H_{0}}}|\phi \rangle =E|\phi \rangle \quad \cdots (1)}
実験者がある決まったエネルギーの粒子を入射させたとする。つまりいくつもある「
H
0
^
{\displaystyle {\hat {H_{0}}}}
E
{\displaystyle E}
|
ϕ
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle }
E
{\displaystyle E}
|
ϕ
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle }
散乱状態を表すハミルトニアンが、以下のように自由粒子のハミルトニアン
H
0
^
{\displaystyle {\hat {H_{0}}}}
V
^
{\displaystyle {\hat {V}}}
H
^
=
H
0
^
+
V
^
{\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H_{0}}}+{\hat {V}}}
H
^
{\displaystyle {\hat {H}}}
E
{\displaystyle E}
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
(
H
0
^
+
V
^
)
|
ψ
⟩
=
E
|
ψ
⟩
⋯
(
2
)
{\displaystyle ({\hat {H_{0}}}+{\hat {V}})|\psi \rangle =E|\psi \rangle \quad \cdots (2)}
弾性散乱では入射状態のエネルギーと散乱状態のエネルギーが等しい。よって入射状態のエネルギーはすでに決まっているため、散乱状態のエネルギー固有値もすでに指定されている。弾性散乱の散乱理論では、そのエネルギー固有値に対応するエネルギー固有状態を求めるのである。よってこれは固有値問題ではなく、(1)式が境界条件となっている微分方程式である。
エネルギー固有値の連続性のため、
V
^
→
0
{\displaystyle {\hat {V}}\to 0\,}
|
ψ
⟩
→
|
ϕ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle \to |\phi \rangle \,}
解くべき式は(2)であり、その中の
E
{\displaystyle E}
|
ψ
⟩
=
|
ϕ
⟩
+
1
E
−
H
0
^
V
^
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-{\hat {H_{0}}}}}{\hat {V}}|\psi \rangle \,}
これは両辺に
E
−
H
^
0
{\displaystyle E-{\hat {H}}_{0}}
しかし
E
{\displaystyle E}
H
0
^
{\displaystyle {\hat {H_{0}}}}
(
E
−
H
^
0
)
{\displaystyle (E-{\hat {H}}_{0})}
|
ψ
(
±
)
⟩
=
|
ϕ
⟩
+
1
E
−
H
0
^
±
i
ϵ
V
^
|
ψ
(
±
)
⟩
{\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-{\hat {H_{0}}}\pm i\epsilon }}{\hat {V}}|\psi ^{(\pm )}\rangle \,}
時間依存シュレディンガー方程式による導出 時間依存シュレディンガー方程式は次のように与えられる。
(
i
ℏ
∂
∂
t
−
H
^
0
)
|
ψ
(
t
)
⟩
=
V
|
ψ
(
t
)
⟩
⋯
(
1
)
{\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-{\hat {H}}_{0}\right)|\psi (t)\rangle =V|\psi (t)\rangle \quad \cdots (1)}
この方程式のグリーン関数が満たすべき式は次のように表される。
(
i
ℏ
∂
∂
t
−
H
^
0
)
G
+
(
t
,
t
′
)
=
δ
(
t
−
t
′
)
{\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-{\hat {H}}_{0}\right)G^{+}(t,t')=\delta (t-t')}
これを
t
<
t
′
{\displaystyle t<t'}
G
+
(
t
,
t
′
)
=
0
{\displaystyle G^{+}(t,t')=0}
遅延グリーン関数 が得られる。
G
+
(
t
,
t
′
)
=
−
i
ℏ
θ
(
t
−
t
′
)
e
i
H
0
(
t
−
t
′
)
/
ℏ
{\displaystyle G^{+}(t,t')=-{\frac {i}{\hbar }}\theta (t-t')e^{iH_{0}(t-t')/\hbar }}
この
G
+
(
t
,
t
′
)
{\displaystyle G^{+}(t,t')}
|
ψ
+
(
t
)
⟩
=
|
ϕ
(
t
)
⟩
+
∫
−
∞
+
∞
G
+
(
t
,
t
′
)
V
|
ψ
+
(
t
)
⟩
d
t
′
⋯
(
2
)
{\displaystyle |\psi ^{+}(t)\rangle =|\phi (t)\rangle +\int _{-\infty }^{+\infty }G^{+}(t,t')V|\psi ^{+}(t)\rangle dt'\quad \cdots (2)}
ただし
|
ϕ
(
t
)
⟩
{\displaystyle |\phi (t)\rangle }
(
i
ℏ
∂
∂
t
−
H
^
0
)
|
ϕ
(
t
)
⟩
=
0
{\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-{\hat {H}}_{0}\right)|\phi (t)\rangle =0}
ここで
|
ψ
(
t
)
⟩
{\displaystyle |\psi (t)\rangle }
|
ϕ
(
t
)
⟩
{\displaystyle |\phi (t)\rangle }
H
^
{\displaystyle {\hat {H}}}
H
^
0
{\displaystyle {\hat {H}}_{0}}
|
ψ
(
t
)
⟩
=
|
ψ
⟩
e
i
E
t
/
ℏ
{\displaystyle |\psi (t)\rangle =|\psi \rangle e^{iEt/\hbar }}
|
ϕ
(
t
)
⟩
=
|
ϕ
⟩
e
i
E
t
/
ℏ
{\displaystyle |\phi (t)\rangle =|\phi \rangle e^{iEt/\hbar }}
さらに摂動を無限の過去から徐々に加えていく。
V
^
→
lim
η
→
0
V
^
e
η
t
{\displaystyle {\hat {V}}\to \lim _{\eta \to 0}{\hat {V}}e^{\eta t}}
すると(2)式は
|
ψ
+
⟩
=
|
ϕ
⟩
−
i
ℏ
lim
t
″
→
−
∞
∫
t
″
0
exp
(
i
(
H
^
0
−
E
−
i
η
ℏ
)
t
′
/
ℏ
)
V
^
|
ψ
+
⟩
d
t
′
=
|
ϕ
⟩
−
1
H
^
0
−
E
−
i
η
ℏ
[
1
−
lim
t
″
→
−
∞
exp
(
[
i
(
H
^
0
−
E
)
/
ℏ
+
η
]
t
″
)
]
V
^
|
ψ
+
⟩
.
{\displaystyle {\begin{aligned}|\psi ^{+}\rangle &=|\phi \rangle -{\frac {i}{\hbar }}\lim _{t''\to -\infty }\int _{t''}^{0}\exp(i({\hat {H}}_{0}-E-i\eta \hbar )t'/\hbar ){\hat {V}}|\psi ^{+}\rangle \,dt'\\&=|\phi \rangle -{\frac {1}{{\hat {H}}_{0}-E-i\eta \hbar }}\left[1-\lim _{t''\to -\infty }\exp({[i({\hat {H}}_{0}-E)/\hbar +\eta ]t''})\right]{\hat {V}}|\psi ^{+}\rangle .\end{aligned}}}
t
″
→
−
∞
{\displaystyle t''\to -\infty }
[2]
関連項目 出典
^ 砂川重信 『量子力学』岩波書店 、1991年。ISBN 4000061399 。 ^ Sakurai, J. J. (1994). Modern Quantum Mechanics . Addison Wesley. ISBN 0-201-53929-2
Weinberg, S. (1995). The Quantum Theory of Fields . Cambridge University Press.
ISBN 0-521-67053-5
![{\displaystyle {\begin{aligned}|\psi ^{+}\rangle &=|\phi \rangle -{\frac {i}{\hbar }}\lim _{t''\to -\infty }\int _{t''}^{0}\exp(i({\hat {H}}_{0}-E-i\eta \hbar )t'/\hbar ){\hat {V}}|\psi ^{+}\rangle \,dt'\\&=|\phi \rangle -{\frac {1}{{\hat {H}}_{0}-E-i\eta \hbar }}\left[1-\lim _{t''\to -\infty }\exp({[i({\hat {H}}_{0}-E)/\hbar +\eta ]t''})\right]{\hat {V}}|\psi ^{+}\rangle .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17d7999c1acbbb64e0b39fe99d63dce27a3b96f9)
