接続形式のための主バンドル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/02/09 04:18 UTC 版)
「接続形式」の記事における「接続形式のための主バンドル」の解説
E → M を構造群 G をもつベクトルバンドルとしよう。M の開被覆 {U} の上で各々の U の上では G-標構に沿っている標構を 、eU よって表すとする。オーバーラップする開集合の交叉 U ∩ V 上で定義された G に値を持つ函数は、ある G に値を持つ函数 hUV に対して、 e V = e U ⋅ h U V {\displaystyle {\mathbf {e} }_{V}={\mathbf {e} }_{U}\cdot h_{UV}} によって、開集合の交叉が関連付けられる。 FGE を M の各々の点上に取られたすべての G 標構の集合とする。これは M 上の主 G-バンドルである。詳しくは、G 標構は全て G に関連しているという事実を使い、FGE を F G E = ∐ U U × G / ∼ {\displaystyle F_{G}E=\left.\coprod _{U}U\times G\right/\sim } として、開被覆の集合の間を貼り合わせることが可能である。ここに、同値関係 ∼ {\displaystyle \sim } は、 ( ( x , g U ) ∈ U × G ) ∼ ( ( x , g V ) ∈ V × G ) ⟺ e V = e U ⋅ h U V and g U = h U V − 1 ( x ) g V {\displaystyle ((x,g_{U})\in U\times G)\sim ((x,g_{V})\in V\times G)\iff {\mathbf {e} }_{V}={\mathbf {e} }_{U}\cdot h_{UV}{\text{ and }}g_{U}=h_{UV}^{-1}(x)g_{V}} として定義される。 FGE 上で、主 G-バンドルを、各々の積 U × G の上の g-に値を持つ 1-形式はオーバーラップする領域の上での同値関係とみなすと定義する。最初に、 π 1 : U × G → U , π 2 : U × G → G {\displaystyle \pi _{1}:U\times G\to U,\quad \pi _{2}:U\times G\to G} ω ( x , g ) = A d g − 1 π 1 ∗ ω ( e U ) + π 2 ∗ ω g {\displaystyle \omega _{(x,g)}=Ad_{g^{-1}}\pi _{1}^{*}\omega (\mathbf {e} _{U})+\pi _{2}^{*}\omega _{\mathbf {g} }} とおく。このようにして構成された 1-形式 ω は、オーバーラップした集合の間の変換とみなせ、従って、主バンドル FGE 上に大域的に定義された 1-形式を与えるとみなせる。ω は、FGE へ右から作用する G を生成する生成子を再現し、G の随伴表現を持った T(FGE) 上の右からの作用とは同変的に作用するという意味で、主接続である。
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