指標の直交関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/18 04:29 UTC 版)
表現の指標と群環は、直交性を考えるとき、互いに相補的な関係にある。G の表現 (V1, ρ1), (V2, ρ2) に対して、χ1, χ2 をそれぞれ表現 ρ1, ρ2 の指標とするとき、表現 (V1, ρ1), (V2, ρ2) を G-加群と見て ( χ 1 ∣ χ 2 ) = dim K ( hom K G ( V 1 , V 2 ) ) {\displaystyle (\chi _{1}\mid \chi _{2})=\dim _{K}(\hom _{K}^{G}(V_{1},V_{2}))} が成り立つ。右辺の次元は K 上で考える。 すると、シューアの補題により、既約指標 π1, π2 の間の直交関係 ( π 1 ∣ π 2 ) = { 1 π 1 ≃ π 2 0 π 1 ≄ π 2 {\displaystyle (\pi _{1}\mid \pi _{2})={\begin{cases}1&\pi _{1}\simeq \pi _{2}\\0&\pi _{1}\not \simeq \pi _{2}\end{cases}}} が得られる。
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