差分および和分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/22 10:08 UTC 版)
よく知られた連続的な微分法は D f ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h {\displaystyle Df(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}} で定義される微分作用素 D に基づくのに対し、離散的な差分法は Δ f ( x ) = f ( x + 1 ) − f ( x ) {\displaystyle \Delta f(x)=f(x+1)-f(x)} で定義される差分作用素 Δ に基づく。 逆演算は、連続的な微分積分学における不定積分に対応するものとして、離散的な不定和分 ∑f(x) が差分作用素に対して g ( x ) = Δ f ( x ) ⟺ ∑ g ( x ) δ x = f ( x ) + C {\displaystyle g(x)=\Delta f(x)\iff \sum g(x)\,\delta x=f(x)+C} を満足するものとして定義される。ただし、δ は連続的な微分積分学における D に対する d と同様の意味で（ここでは）Δ に対する符牒である。また C は整数 x に対して定数となるような任意の函数 (C(x + 1) = C(x)) とする。 定積分に相当する定和分は、上の限界を固定しない通常の和 F(x) を用いれば ∑ a b f ( x ) δ x = ∑ k = a b − 1 f ( k ) = [ F ( x ) ] a b = F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle \sum \nolimits _{a}^{b}f(x)\,\delta x=\sum _{k=a}^{b-1}f(k)=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)} なる関係にある。
※この「差分および和分」の解説は、「和分差分学」の解説の一部です。
「差分および和分」を含む「和分差分学」の記事については、「和分差分学」の概要を参照ください。
- 差分および和分のページへのリンク
