定値性の判定条件
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/11 01:39 UTC 版)
対称行列 X は X := ( A B B ⊤ C ) {\displaystyle X:={\begin{pmatrix}A&B\\B^{\top }&C\end{pmatrix}}} で与えられるものとする。このとき、X の A および C に関するシューア補行列は X / A = C − B ⊤ A − 1 B , X / C = A − B C − 1 B ⊤ {\displaystyle X/A=C-B^{\top }A^{-1}B,\quad X/C=A-BC^{-1}B^{\top }} と書ける。 X が正定値となるための必要十分条件は、A および X/A がともに正定値となることである: X ≻ 0 ⟺ A ≻ 0 ∧ X / A ≻ 0. {\displaystyle X\succ 0\iff A\succ 0\land X/A\succ 0.} X が正定値となるための必要十分条件は C および X/C がともに正定値となることである: X ≻ 0 ⟺ C ≻ 0 , X / C ≻ 0. {\displaystyle X\succ 0\iff C\succ 0,X/C\succ 0.} A が正定値のとき、X が半正定値となるための必要十分条件は X/A が半正定値となることである。 C が正定値のとき、X が半正定値となるための必要十分条件は X/C が半正定値となることである。 1. および 3. は u を止めて v の函数とみた量 u ⊤ A u + 2 v ⊤ B ⊤ u + v ⊤ C v {\displaystyle u^{\top }Au+2v^{\top }B^{\top }u+v^{\top }Cv} の最小化を考えることで導出できる。さらに、 ( A B B ⊤ C ) ≻ 0 ⟺ ( C B ⊤ B A ) ≻ 0 {\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\B^{\top }&C\end{pmatrix}}\succ 0\iff {\begin{pmatrix}C&B^{\top }\\B&A\end{pmatrix}}\succ 0} である（半正定値でも同様のことが言える）から、1. および 3. からそれぞれ 2. および 4. が直ちに得られる。 同じように、一般化シューア補行列を用いても X の半正定値性を判定する必要十分条件を述べることができる。つまり、Ag を A の一般化逆行列とすれば X ⪰ 0 ⟺ A ⪰ 0 , C − B ⊤ A g B ⪰ 0 , ( I − A A g ) B = 0 {\displaystyle X\succeq 0\iff A\succeq 0,C-B^{\top }A^{g}B\succeq 0,(I-AA^{g})B=0} および X ⪰ 0 ⟺ C ⪰ 0 , A − B C g B ⊤ ⪰ 0 , ( I − C C g ) B ⊤ = 0 {\displaystyle X\succeq 0\iff C\succeq 0,A-BC^{g}B^{\top }\succeq 0,(I-CC^{g})B^{\top }=0} が成り立つ。
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