安定分布とは？わかりやすく解説

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安定分布

読み方：あんていぶんぷ
【英】：stable distribution

確率変数列 $X_{1}, X_{2}, \cdots$ は独立で同一の分布 $F$ に従うとする．このとき，任意の $n$ に対して，ある数 $a_{n}, b_{n}$ があり，

$X_{1} + \cdots + X_{n} \cong a_{n} X_{1} + b_{n}$

ならば， $F$ は安定（stable）であるという．ここに， $\cong$ は分布が等しいことを表す． $F$ が安定ならば， $0 < \alpha \le 2$ を満たすある $\alpha$ に対して， $a_{n} = n^{\frac 1{\alpha}}$ が成り立つ．このとき， $F$ は $\alpha-$ 安定であるという．例えば，正規分布は $\alpha = 2$ の安定分布であり，コーシー分布（Cauchy distribution）は $\alpha=1$ の安定分布である．ここに，コーシー分布とは密度関数

$f(x) = \frac {a} {\pi ((x-b)^{2} + a^{2})}, \qquad -\infty < x < \infty$

をもつ分布である．ここに， $a$ は正の定数， $b$ は実数の定数である．

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