多重ベクトルの階数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/29 01:56 UTC 版)
α ∈ ⋀k(V) とすると α は分解可能多重ベクトルの線型結合 α = α ( 1 ) + α ( 2 ) + ⋯ + α ( s ) {\displaystyle \alpha =\alpha ^{(1)}+\alpha ^{(2)}+\cdots +\alpha ^{(s)}} として表示できる。ここで各 α(i) は分解可能、つまり α ( i ) = α 1 ( i ) ∧ ⋯ ∧ α k ( i ) , i = 1 , 2 , … , s {\displaystyle \alpha ^{(i)}=\alpha _{1}^{(i)}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}^{(i)},\quad i=1,2,\dots ,s} と書ける。多重ベクトル α の階数 (rank)とは α のこのような表示に現れる分解可能多重ベクトルの最小数をいう。これはテンソルの階数（英語版）の記法の類似である。 階数は特に 2 重ベクトルの研究で重要である(Sternberg 1974, §III.6) (Bryant et al. 1991)。2-重ベクトル α の階数は α のある基底に関する係数の作る行列の階数と同一視できる。つまり、{ei} を V の基底とすると、α は α = ∑ i , j a i j e i ∧ e j {\displaystyle \alpha =\sum _{i,j}a_{ij}e_{i}\wedge e_{j}} と一意的に表示できる（ここで aij = −aji ゆえ、対応する係数行列は歪対称行列である）。そして α の階数は行列 (aij) の階数に一致する。 標数 0 の場合、2-重ベクトル α が階数 p を持つことと α ∧ ⋯ ∧ α ⏟ p ≠ 0 {\displaystyle {\underset {p}{\underbrace {\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha } }}\not =0} かつ α ∧ ⋯ ∧ α ⏟ p + 1 = 0 {\displaystyle {\underset {p+1}{\underbrace {\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha } }}=0} であることとは同値である。
※この「多重ベクトルの階数」の解説は、「外積代数」の解説の一部です。
「多重ベクトルの階数」を含む「外積代数」の記事については、「外積代数」の概要を参照ください。
- 多重ベクトルの階数のページへのリンク
