多重コーシー積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/03/19 04:57 UTC 版)
n を自然数（ただし、以下では n = 1 の場合は自明な主張となるから n ≥ 2）とする。 命題 ∑∞k1=0 a1,k1, …, ∑∞kn=0 an,kn を複素係数の収束無限級数で、和がそれぞれ A1, …, An であり、最後の n 番目の列を除いてすべて絶対収束であるとすれば、級数 ∑ k 1 = 0 ∞ ∑ k 2 = 0 k 1 ⋯ ∑ k n = 0 k n − 1 a 1 , k n a 2 , k n − 1 − k n ⋯ a n , k 1 − k 2 {\displaystyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}} は収束して、その収束値は各級数の和の積 ∏nj=1 Aj に等しい。 証明は n に関する帰納法による。（n = 2 のときはコーシー積に関する主張として既にみた。）
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