外軸円運動
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/24 14:40 UTC 版)
ビネ方程式では、力の中心周りの円運動に対応する力の法則を導くことはできないが、円運動の中心と力の中心が一致していない場合は力の法則を導くことができる。力の中心を通過する円運動を考えることにする。このような円軌道の（逆）極方程式は、半径を D とすると次のように表わされる。 D u ( θ ) = sec θ {\displaystyle D\,u(\theta )=\sec \theta } u を二階微分し、ピタゴラスの三角恒等式（英語版）を用いると次を得る。 D d 2 u d θ 2 = sec θ tan 2 θ + sec 3 θ = sec θ ( sec 2 θ − 1 ) + sec 3 θ = 2 D 3 u 3 − D u {\displaystyle D\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=\sec \theta \tan ^{2}\theta +\sec ^{3}\theta =\sec \theta (\sec ^{2}\theta -1)+\sec ^{3}\theta =2D^{3}u^{3}-D\,u} したがって、力は次の法則に従う。 F = − m h 2 u 2 ( 2 D 2 u 3 − u + u ) = − 2 m h 2 D 2 u 5 = − 2 m h 2 D 2 r 5 {\displaystyle F=-mh^{2}u^{2}\left(2D^{2}u^{3}-u+u\right)=-2mh^{2}D^{2}u^{5}=-{\frac {2mh^{2}D^{2}}{r^{5}}}} 一般の逆問題、すなわち 1/r5 に比例する引力から軌道を導くのは非常に難しい問題である。これは、 d 2 u d θ 2 + u = C u 3 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u=Cu^{3}} のような非線形方程式を解くことに相当するからである。
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