固有値問題の一般化としての積分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/17 10:07 UTC 版)
「積分方程式」の記事における「固有値問題の一般化としての積分方程式」の解説
ある種の斉次線型積分方程式は、固有値問題の連続極限とみなすことができる。固有値問題は、 M {\displaystyle \mathbf {M} } を行列、 v {\displaystyle \mathbf {v} } を固有ベクトル、 λ {\displaystyle \lambda } を対応する固有値として、 ∑ j M i , j v j = λ v i {\displaystyle \sum _{j}M_{i,j}v_{j}=\lambda v_{i}^{}} と書くことができる。 添字 i {\displaystyle i} 、 j {\displaystyle j} を連続変数 x {\displaystyle x} 、 y {\displaystyle y} で置き換えて連続極限を取ると、 j {\displaystyle j} に関する総和は y {\displaystyle y} に関する積分、行列 M i , j {\displaystyle M_{i,j}} とベクトル v j {\displaystyle v_{j}} はそれぞれ積分核 K ( x , y ) {\displaystyle K(x,y)} と固有関数 φ ( y ) {\displaystyle \varphi (y)} に置き換えられて、線型斉次第二種フレドホルム積分方程式 ∫ d y K ( x , y ) φ ( y ) = λ φ ( x ) {\displaystyle \int \mathrm {d} y\,K(x,y)\varphi (y)=\lambda \varphi (x)} が得られる。 一般に、 K ( x , y ) {\displaystyle K(x,y)} は超関数であってもよい。超関数 K {\displaystyle K} が x = y {\displaystyle x=y} でのみ台 (support) を持つ場合は、微分方程式の固有値問題に帰着される。
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