厳密な不等号が成り立つ例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/24 03:03 UTC 版)
「ファトゥの補題」の記事における「厳密な不等号が成り立つ例」の解説
空間 S {\displaystyle S} にボレルσ-代数とルベーグ測度を備える。 確率空間の例: S = [ 0 , 1 ] {\displaystyle S=[0,1]} を単位区間とする。すべての自然数 n {\displaystyle n} に対して f n ( x ) = { n for x ∈ ( 0 , 1 / n ) , 0 otherwise {\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}n&{\text{for }}x\in (0,1/n),\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}} を定義する。 一様収束の例: S {\displaystyle S} をすべての実数からなる集合とし、 f n ( x ) = { 1 n for x ∈ [ 0 , n ] , 0 otherwise {\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}}&{\text{for }}x\in [0,n],\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}} を定義する。 これらの関数列 ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} は S {\displaystyle S} 上で、ゼロ関数へとそれぞれ各点および一様収束する。その積分の値は 0 であるが、各 f n {\displaystyle f_{n}} の積分の値は 1 である。
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