半環論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/11/15 16:56 UTC 版)
環論における議論の大半は、勝手な半環に対して用いても引き続き意味を成す。特に、可換環上の多元環論は直截に可換半環上の多元環論に一般化することができる。この意味で環は、単に整数全体の成す可換半環 Z 上の多元環である。数学者によっては、本当は環よりも半環の方が代数学のより基礎を成す概念であり、環という構造は例えば「複素数体上の多元環」を捉えるのと同様の視点から捉えるべきとする。 加法の冪等性が自明であるような任意の環として、冪等半環は半環論において特別である。冪等半環上の半順序 ≤ が a ≤ b ⇔ a + b = b（あるいは同じことだが、a ≤ b ⇔ [a + x = b なる x が存在する]）として定められる。零元 0 がこの順序に関する最小元、即ち任意の a に対して 0 ≤ a となることを見るのは容易い。乗法および加法は a ≤ b ならば ac ≤ bc かつ ca ≤ cb および (a+c) ≤ (b+c) を満たすという意味でこの順序と両立する。
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