円形電流の中心付近に於ける磁場
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/21 16:53 UTC 版)
「ビオ・サバールの法則」の記事における「円形電流の中心付近に於ける磁場」の解説
アンペールの法則を使った場合では求めることが難しい場合も、ビオ・サバールの法則を用いることで簡易に計算できる場合がある。例えば円形電流の中心付近に発生する磁場を求める場合がそうである。まず、右図のような半径 a の円周上P点に存在する電流 I によって、中心Oに生じる磁場について考える。 ds と r の為す角度を φ とおくと、図より d s ⊥ r {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\perp {\boldsymbol {r}}} となり、また | r | = a {\displaystyle |{\boldsymbol {r}}|=a} であるので、 d H = 1 4 π I sin ϕ a 2 d s = 1 4 π I d s a 2 {\displaystyle \mathrm {d} H={\frac {1}{4\pi }}{\frac {I\sin \phi \,\!}{a^{2}}}\,\mathrm {d} s={\frac {1}{4\pi }}{\frac {I\,\mathrm {d} s}{a^{2}}}\,} である。これを円周上で積分して、 H = 1 4 π I a 2 ∫ 0 2 π a d s = 1 4 π 2 π a I a 2 = I 2 a {\displaystyle H={\frac {1}{4\pi }}{\frac {I}{a^{2}}}\,\int _{0}^{2\pi a}\mathrm {d} s={\frac {1}{4\pi }}{\frac {2\pi aI}{a^{2}}}={\frac {I}{2a}}} となる。 次に、右図のようなOより面に垂直に z だけずれた位置Qに生じる磁場について考える。図より、 | r | = a 2 + z 2 , ∠ O P Q = α {\displaystyle |{\boldsymbol {r}}|={\sqrt {a^{2}+z^{2}}},\quad \angle \mathrm {OPQ} =\alpha } である。 dH はビオ・サバールの法則より ds と r に垂直で、面に平行な成分 d H ∥ = d H sin α {\displaystyle \mathrm {d} H_{\parallel }=\mathrm {d} H\sin \alpha } は対称性により円周上を積分すると 0 になってしまうので、面に垂直な成分 d H ⊥ = d H cos α {\displaystyle \mathrm {d} H_{\perp }=\mathrm {d} H\cos \alpha } のみを考えればよい。 d H ⊥ ( z ) = d H ( z ) cos α = 1 4 π I d s a 2 + z 2 a a 2 + z 2 {\displaystyle \mathrm {d} H_{\perp }(z)=\mathrm {d} H(z)\cos \alpha ={\frac {1}{4\pi }}{\frac {I\mathrm {d} s}{a^{2}+z^{2}}}{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+z^{2}}}}} ここで、ds = a dθ であることを用いて、 H ⊥ ( z ) = 1 4 π I a 2 ( a 2 + z 2 ) 3 / 2 ∫ 0 2 π d θ = 1 4 π 2 π I a 2 ( a 2 + z 2 ) 3 / 2 = I a 2 2 ( a 2 + z 2 ) 3 / 2 {\displaystyle {\begin{aligned}H_{\perp }(z)&={\frac {1}{4\pi }}{\frac {Ia^{2}}{(a^{2}+z^{2})^{3/2}}}\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta \\&={\frac {1}{4\pi }}{\frac {2\pi \,Ia^{2}}{(a^{2}+z^{2})^{3/2}}}={\frac {Ia^{2}}{2(a^{2}+z^{2})^{3/2}}}\end{aligned}}} ここで、z = 0 とすれば、円の中心部に生じている磁場HO が得られる。即ち、 H O = H ⊥ ( 0 ) = I 2 a {\displaystyle H_{\mathrm {O} }=H_{\perp }(0)={\frac {I}{2a}}} であり、これは先ほど求めたものに一致する。
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