保存力場への適用
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/19 06:33 UTC 版)
「ケルビン・ストークスの定理」の記事における「保存力場への適用」の解説
本節では 層状ベクトル場 （保存力場)に本定理を適用し、スカラーポテンシャルの一意性を基礎づける定理を導く。一変数の規格化写像 θ [ a , b ] {\displaystyle {\theta }_{[a,b]}} 、以下のように定義する。これは、狭義単調増加関数である。 θ [ a , b ] : [ 0 , 1 ] → [ a , b ] {\displaystyle {\theta }_{[a,b]}:[0,1]\to [a,b]} θ [ a , b ] = s ( b − a ) + a {\displaystyle {\theta }_{[a,b]}=s(b-a)+a} 区分的になめらかな曲線c:[a,b]→R3, と、区分的に滑らかなベクトル場Fを考える。 Fの定義域は、 c [ [ a , b ] ] {\displaystyle c[[a,b]]} (cの値域)を包含するものとする。 このとき、以下の等式が成り立つ。 ∫ c F d c = ∫ c ∘ θ [ a , b ] F d ( c ∘ θ [ a , b ] ) {\displaystyle \int _{c}\mathbf {F} \ dc\ =\int _{c\circ {\theta }_{[a,b]}}\ \mathbf {F} \ d(c\circ {\theta }_{[a,b]})} 従って、定義域が[0,1]のcのみを考えても、一般性を失わないことが判る。以降、そのように考える。
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