他の主成分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/11 09:02 UTC 版)
k 番目の主成分は k − 1 番目までの主成分をデータ行列 X から取り除くことで得られる： X ^ k = X − ∑ s = 1 k − 1 X w s w s T . {\displaystyle \mathbf {\hat {X}} _{k}=\mathbf {X} -\sum _{s=1}^{k-1}\mathbf {X} \mathbf {w} _{s}\mathbf {w} _{s}^{\rm {T}}.} 負荷量ベクトルは新たなデータ行列に対して主成分得点の分散が最大となるようなベクトルとして与えられる。 w k = a r g m a x ‖ w ‖ = 1 ‖ X ^ k w ‖ 2 = a r g m a x w ≠ 0 ‖ X ^ k w ‖ 2 ‖ w ‖ 2 . {\displaystyle \mathbf {w} _{k}={\underset {\Vert \mathbf {w} \Vert =1}{\operatorname {arg\,max} }}\Vert \mathbf {\hat {X}} _{k}\mathbf {w} \Vert ^{2}={\underset {\mathbf {w} \neq \mathbf {0} }{\operatorname {arg\,max} }}{\tfrac {\Vert \mathbf {\hat {X}} _{k}\mathbf {w} \Vert ^{2}}{\Vert \mathbf {w} \Vert ^{2}}}.} このことから、新たな負荷量ベクトルは対称行列 XTX の固有ベクトルであり、右辺の括弧内の量の最大値は対応する固有値を与えることが分かる。したがって、すべての負荷量ベクトルは XTX の固有ベクトルである。 データ点 xi の第 k 主成分は主成分得点 tk(i) = xi · wk として負荷量ベクトルを基底とする表示が与えられ、また対応するベクトルは主成分得点に対応する基底ベクトルをかけた (xi · wk) wk となる。ここで wk は行列 XTX の第 k 固有ベクトルである。 X の完全な主成分分解は以下のように表わすことができる。 T = X W {\displaystyle \mathbf {T} =\mathbf {X} \mathbf {W} } ここで W は p × p の正方行列であり、各列ベクトルは行列の XTX の固有ベクトルであり単位ベクトルである。
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