二次特殊線形リー環の表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/04 03:03 UTC 版)
「ケイリー＝アロンホルトの微分作用素」の記事における「二次特殊線形リー環の表現」の解説
交換子積を [ X , Y ] = X Y − Y X {\displaystyle [X,Y]=XY-YX} で定めると、 H , D , Δ {\displaystyle {\mathcal {H}},\,{\mathcal {D}},\,\Delta } 同士の交換子は、 [ D , Δ ] = H , [ H , D ] = 2 D , [ H , Δ ] = − 2 Δ {\displaystyle [{\mathcal {D}},\Delta ]={\mathcal {H}},\,\,[{\mathcal {H}},{\mathcal {D}}]=2{\mathcal {D}},\,\,[{\mathcal {H}},\Delta ]=-2\Delta } の関係を満たす。 これは二次特殊線形リー環 s l ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)} の基底 H = ( − 1 0 0 1 ) , X = ( 0 0 1 0 ) , Y = ( 0 1 0 0 ) {\displaystyle H={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,\,X={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\,\,Y={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}} が満たす関係 [ X , Y ] = H , [ H , X ] = 2 X , [ H , Y ] = − 2 Y {\displaystyle [X,Y]=H,\,\,[H,X]=2X,\,\,[H,Y]=-2Y} に対応している。 そこで、 ρ : s l ( 2 ) → g l ( K [ ξ ] ) {\displaystyle \rho :{\mathfrak {sl}}(2)\rightarrow {\mathfrak {gl}}(K[\xi ])} を対応関係 λ H + μ X + ν Y → λ H + μ D + ν Δ ( λ , μ , ν ∈ K ) {\displaystyle \lambda H+\mu X+\nu Y\rightarrow \lambda {\mathcal {H}}+\mu {\mathcal {D}}+\nu \Delta \quad (\lambda ,\mu ,\nu \in K)} で与えれば、 ρ {\displaystyle \rho } は K [ ξ ] {\displaystyle K[\xi ]} を表現空間とする s l ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)} のリー代数の表現となる。
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