中心・中心化群・正規化群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/08 05:19 UTC 版)
「群 (数学)」の記事における「中心・中心化群・正規化群」の解説
群 G のすべての元と可換な G の元の全体を Z(G) や C(G) などと書いて、G の中心という。群 G とその部分集合 S に対し、G の部分集合 C G ( S ) = { g ∈ G ∣ s g = g s ( ∀ s ∈ S ) } {\displaystyle C_{G}(S)=\{g\in G\mid sg=gs\ (\forall s\in S)\}} は S をその中心に含む G の部分群となる。この群 CG(S) を S の G における中心化群という。S が一元集合 {x} であるとき、CG({x}) を CG(x) と略記する。G の各元 x に対して、その中心化群 CG(x) の G に対する指数 [G : CG(x)] は x の属する共役類の位数に等しい。 群 G の部分集合 S に対して、G の部分集合 N G ( S ) = { g ∈ G ∣ g S g − 1 = S } {\displaystyle N_{G}(S)=\{g\in G\mid gSg^{-1}=S\}} は（S が部分群でなくとも）G の部分群となる。この NG(S) を S の G における正規化群と呼ぶ。H が群 G の部分群であるときは、その正規化群 NG(H) は H を含む。また H は正規化群 NG(H) の正規部分群である。これを、NG(H) は H を正規化 (normalize) するといい表す。一般に G のふたつの部分群 H1, H2 に対し、H1 が H2 を正規化するとは、 h H 2 h − 1 = H 2 {\displaystyle hH_{2}h^{-1}=H_{2}} が H1 のどの h についても成立することを言う。
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