レベル5のモジュラー方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/09 22:23 UTC 版)
「五次方程式」の記事における「レベル5のモジュラー方程式」の解説
複素トーラス（英語版）の周期をそれぞれ ω 1 , ω 2 {\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}} として、 τ {\displaystyle \tau } を τ = ω 2 ω 1 {\displaystyle \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}} で定義する。ただし、 τ {\displaystyle \tau } は純虚数と仮定する。また、 q = e i π τ {\displaystyle q=e^{i\pi \tau }} と定義する。この時 q {\displaystyle q} と q n {\displaystyle q^{n}} が満足する関係式、または同値だが τ {\displaystyle \tau } と n τ {\displaystyle n\tau } とが満たすべき関係式のことを「レベル n {\displaystyle n} のモジュラー方程式」と言う。この方程式は次の形をとる。 L ′ L = n K ′ K . {\displaystyle {\frac {L'}{L}}=n{\frac {K'}{K}}.} ただし、 K , L {\displaystyle K,L} はそれぞれ母数が k , l {\displaystyle k,l} の第1種完全楕円積分、 K ′ , L ′ {\displaystyle K',L'} はそれぞれ母数が k ′ := 1 − k 2 {\displaystyle k':={\sqrt {1-k^{2}}}} 、 l ′ := 1 − l 2 {\displaystyle l':={\sqrt {1-l^{2}}}} の第1種完全楕円積分を表す。この方程式によって、2つの母数 k , l {\displaystyle k,l} が満たすべき方程式が決まる。 n = 5 {\displaystyle n=5} のとき τ {\displaystyle \tau } と 5 τ {\displaystyle 5\tau } は次の関係式を満足することが分かっている。 F [ − κ ( 5 τ ) 4 , κ ( τ ) 4 ] = 0 , F ( x , y ) = x 6 − y 6 + 5 x 2 y 2 ( x 2 − y 2 ) − 4 x y ( x 4 y 4 − 1 ) = 0 , {\displaystyle F\left[-{\sqrt[{4}]{\kappa (5\tau )}},{\sqrt[{4}]{\kappa (\tau )}}\right]=0,\quad F(x,y)=x^{6}-y^{6}+5x^{2}y^{2}(x^{2}-y^{2})-4xy(x^{4}y^{4}-1)=0,} ただし、 κ ( τ ) {\displaystyle \kappa (\tau )} は母数を表す。また、この式の証明の途中で次の2つの命題が証明される。 K = Q [ κ 4 ( τ ) ] {\displaystyle K=\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{\kappa }}(\tau )]} と定義すると、 F [ x , κ 4 ( ω ) ] ∈ Q [ κ 4 ( ω ) ] [ x ] = K [ x ] {\displaystyle F[x,{\sqrt[{4}]{\kappa }}(\omega )]\in \mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{\kappa }}(\omega )][x]=K[x]} は K {\displaystyle K} 上で既約である。 この方程式の解が α ∞ = − κ ( 5 τ ) 4 , α l = κ ( τ + 16 l 5 ) 4 l ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 } {\displaystyle \alpha _{\infty }=-{\sqrt[{4}]{\kappa (5\tau )}},\quad \alpha _{l}={\sqrt[{4}]{\kappa \left({\frac {\tau +16l}{5}}\right)}}\quad l\in \{1,2,3,4\}} で与えられる。
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