レフシェッツの証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/03/22 05:22 UTC 版)
「レフシェッツ超平面定理」の記事における「レフシェッツの証明」の解説
レフシェッツ(Lefschetz) は、定理を証明するため、彼のアイデアであるレフシェッツペンシル（英語版）(Lefschetz pencil)を使った。超平面切断 Y を単独で考えるというよりむしろ、超平面切断の族 Yt の中での超平面切断は Y = Y0 として考えに入れた。元の超平面切断は滑らかであるので、有限個を除きすべての Yt は滑らかな多様体である。これらの点を t-平面から取り除き、有限個のスリットを加えることで、結果として現れる超平面切断 X は、位相的に自明となる。すなわち、元の Yt と t-平面の開集合の積となっている。従って、X はどれくらい超平面切断が特異点でスリットと同一視できるかを表していると理解することができる。特異点から離れると、同一視することができることが帰納的に示すことができる。特異点では、モースの補題（英語版）(Morse lemma)は、特別単純な形の X の座標系を選択することができることを意味している。この座標系は直接定理を証明することに使うことができる。
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