ブール代数上の超フィルター
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/14 14:14 UTC 版)
「超フィルター」の記事における「ブール代数上の超フィルター」の解説
B を最小元 0 を持った束、U を B 上の真のフィルターとする。このとき U が超フィルターとなることと次が同値。 x ∉ U ならば、ある y ∈ U が有って、x ∧ y = 0。 更に、B がブール代数のとき、以下ふたつの条件も超フィルターであることとそれぞれ同値である。 x ∨ y ∈ U ならば、x ∈ U または y ∈ U （素フィルター）。 x ∈ B ならば、x ∈ U または ¬x ∈ U。 A, B をブール代数、Φ: A → B をブール代数の準同型、U を B 上の超フィルターとする。U の Φ による逆像 Φ−1(U) = {x ∈ A : Φ(x) ∈ U}（=: StΦ(U)）は A 上の超フィルターとなる。ブール代数 B に空間 Ult(B) を、準同型 Φ に写像 StΦ を対応させる対応はブール代数の圏から位相空間の圏への関手を与える（詳しくはストーンの表現定理を参照）。 逆にブール代数 B 上に超フィルター U が与えられたとき、μU: B → 2 := {0, 1} を μ U ( x ) := { 1 x ∈ U 0 x ∉ U {\displaystyle \mu _{U}(x):={\begin{cases}1&x\in U\\0&x\notin U\end{cases}}} と定義すると、μU はブール代数間の準同型となる。このことから B の超フィルター全体 St(B) と 2 への準同型全体 Bool(B, 2) は自然に同一視出来る。
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