ハミルトン-ヤコビの理論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/18 08:54 UTC 版)
「正準変換」の記事における「ハミルトン-ヤコビの理論」の解説
詳細は「ハミルトン-ヤコビ方程式」を参照 新ハミルトニアンが恒等的にゼロ K(Q, P, t)≡0となる正準変換(q, p) →(Q, P) を考えると、ハミルトンの運動方程式は Q i ˙ = ∂ K ∂ P i = 0 {\displaystyle {\dot {Q_{i}}}={\frac {\partial K}{\partial P_{i}}}=0} P i ˙ = − ∂ K ∂ Q i = 0 ( i = 1 , ⋯ , n ) {\displaystyle {\dot {P_{i}}}=-{\frac {\partial K}{\partial Q_{i}}}=0\quad (i=1,\cdots ,n)} と簡単な形になる。このとき、新たな正準変数(Q, P) は定数(β, α)となる。 Q i = β i {\displaystyle Q_{i}=\beta _{i}} P i = α i ( i = 1 , ⋯ , n ) {\displaystyle P_{i}=\alpha _{i}\quad (i=1,\cdots ,n)} このような正準変換を生む母関数として、タイプ2の母関数S=W2(q, P, t)を選べば、母関数S(q, P, t)と元のハミルトニアンH(q, p, t)の間には、 H ( q , ∂ S ∂ q , t ) + ∂ S ∂ t = 0 {\displaystyle H\left(q,{\frac {\partial S}{\partial q}},t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0} という関係式が成り立つ。但し、K(Q, P, t)≡0とpi=∂ S/∂ qiであることを用いている。この1階の偏微分方程式をハミルトン-ヤコビ方程式という。
※この「ハミルトン-ヤコビの理論」の解説は、「正準変換」の解説の一部です。
「ハミルトン-ヤコビの理論」を含む「正準変換」の記事については、「正準変換」の概要を参照ください。
- ハミルトン-ヤコビの理論のページへのリンク
