ニュートン・コーツの公式の一覧
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/03 13:30 UTC 版)
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閉じたニュートン・コーツの公式次数名前式誤差項1 台形公式 b − a 2 ( f 0 + f 1 ) {\displaystyle {\frac {b-a}{2}}(f_{0}+f_{1})} − ( b − a ) 3 12 f ( 2 ) ( ξ ) {\displaystyle -{\frac {(b-a)^{3}}{12}}\,f^{(2)}(\xi )} 2 シンプソンの公式 b − a 6 ( f 0 + 4 f 1 + f 2 ) {\displaystyle {\frac {b-a}{6}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})} − ( b − a ) 5 2880 f ( 4 ) ( ξ ) {\displaystyle -{\frac {(b-a)^{5}}{2880}}\,f^{(4)}(\xi )} 3 シンプソンの3/8公式 b − a 8 ( f 0 + 3 f 1 + 3 f 2 + f 3 ) {\displaystyle {\frac {b-a}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})} − ( b − a ) 5 6480 f ( 4 ) ( ξ ) {\displaystyle -{\frac {(b-a)^{5}}{6480}}\,f^{(4)}(\xi )} 4 ブールの公式（英語版） b − a 90 ( 7 f 0 + 32 f 1 + 12 f 2 + 32 f 3 + 7 f 4 ) {\displaystyle {\frac {b-a}{90}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})} − ( b − a ) 7 1935360 f ( 6 ) ( ξ ) {\displaystyle -{\frac {(b-a)^{7}}{1935360}}\,f^{(6)}(\xi )} 開いたニュートン・コーツの公式次数名前式誤差項0 中点則 ( b − a ) f 0 {\displaystyle (b-a)f_{0}} ( b − a ) 3 24 f ( 2 ) ( ξ ) {\displaystyle {\frac {(b-a)^{3}}{24}}\,f^{(2)}(\xi )} 1 台形法 b − a 2 ( f 0 + f 1 ) {\displaystyle {\frac {b-a}{2}}(f_{0}+f_{1})} ( b − a ) 3 36 f ( 2 ) ( ξ ) {\displaystyle {\frac {(b-a)^{3}}{36}}\,f^{(2)}(\xi )} 2 ミルンの公式 b − a 3 ( 2 f 0 − f 1 + 2 f 2 ) {\displaystyle {\frac {b-a}{3}}(2f_{0}-f_{1}+2f_{2})} 7 ( b − a ) 5 23040 f ( 4 ) ( ξ ) {\displaystyle {\frac {7(b-a)^{5}}{23040}}\,f^{(4)}(\xi )} 3 b − a 24 ( 11 f 0 + f 1 + f 2 + 11 f 3 ) {\displaystyle {\frac {b-a}{24}}(11f_{0}+f_{1}+f_{2}+11f_{3})} 19 ( b − a ) 5 90000 f ( 4 ) ( ξ ) {\displaystyle {\frac {19(b-a)^{5}}{90000}}\,f^{(4)}(\xi )} ここで、fi は f (xi) の略記である。 誤差項 E は ∫ a b f ( x ) d x − ∑ i = 0 n w i f ( x i ) = E {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx-\sum _{i=0}^{n}w_{i}f(x_{i})=E} となる ξ ∈ (a, b) が存在することを意味する。また、f の導関数の次数は、それ未満の次数の多項式が正確に積分できる（即ち、誤差が 0 になる）ことを示している。なお、(b − a) の次数と f の導関数の階数は、1 つおきに 2 ずつ増加することに注意。
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