ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ
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ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ（ナビエ–ストークスほうていしきのかいのそんざいとなめらかさ、英語: Navier–Stokes existence and smoothness）問題は、（例えば乱流のような）流体力学の重要な柱の一つであるナビエ-ストークス方程式の解の数学的性質に関連している。これらの方程式は空間の中の流体（つまり、液体や気体）の運動を記述する。ナビエ–ストークス方程式の解は、多くの実践的な応用で使われる。しかしながら、これらの方程式の理論的な理解は不完全である。特に、ナビエ–ストークス方程式の解は、乱流となることがあり、科学や工学に対し計り知れない重要性があるにもかかわらず、乱流は最も難しい物理学の未解決問題の一つとして残っている。
ナビエ–ストークス方程式の解の基本的（そして一見して直感的な）性質さえ、証明されていない。方程式の 3次元の系について初期条件が与えられたとき、滑らかな解が常に存在すること、あるいはその反例が存在することのいずれも証明されていない。この問題を、ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさの問題という。
ナビエ–ストークス方程式の理解が、乱流のとらえどころのない現象の理解という第一段階と考えられているので、Clay Mathematics Institute（クレイ数学研究所）は2000年5月にこの問題を、数学の 7つのミレニアム懸賞問題の一つとした。最初にこの問題の解を与えたものに$1,000,000を賞金として進呈すると約束した[1]。
次のステートメントを証明、もしくは反例を挙げよ:
3次元空間と（1次元の）時間の中で、初期速度を与えると、ナビエ–ストークス方程式の解となる速度ベクトル場と圧力のスカラー場が存在して、双方とも滑らかで大域的に定義される。
ナビエ-ストークス方程式
数学では、ナビエ-ストークス方程式は、任意の大きさの抽象的なベクトル場の非線型偏微分方程式系である。物理学や工学では、連続体力学を使った非圧縮な気体、もしくは液体を主とした流体（つまり、粒子の平均自由行程が十分に短く、単なる粒子の集まりではない連続体として扱えるもの）の運動のモデル化した方程式の系である。[要説明] この方程式はニュートンの第二法則に対応し、力を粘性を持ったニュートン流体にかかる圧力、粘性応力および外力の寄与の和としてモデル化している。クレイ数学研究所によって提起されている問題の設定は、3次元の非圧縮で等質な流体に対してであり、以下のような条件についてのみ考えるものである。
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