スピアマンの順位相関係数

統計学用語辞典

スピアマンの順位相関係数

例題：
　「表 1 において，変数 X と変数 Y の間のスピアマンの順位相関係数を求めなさい。」

表 1．二変数データ

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
変数 Xi	2.8	3.4	3.6	5.8	7.0	9.5	10.2	12.3	13.2	13.4
変数 Yi	0.6	3.0	0.4	1.5	15.0	13.4	7.6	19.8	18.3	18.9

計算手順：

1. ケース数を n とする。
   
2. 変数 X と変数 Y について，小さい方から順位をつける。同順位がある場合には平均順位をつける。
   
3. 両者の順位の差をとり，di とする（Σ di = 0）。
   
4. Σ di² は 2 変数の順序の一致性の指標である。
   
   • 2 変数の順序が完全に一致するときには，Σ di² = 0 である。
     
   • 2 変数の順序が逆順に完全に一致するときには，Σ di² = ( n³ - n ) / 3 である。
   
   このようなことから，次式を定義すれば， - 1 ≦ rs ≦ 1 となる。これがスピアマンの順位相関係数である。
   
   例題では，Σ di² = 24 であるから，rs = 1 - 6・24 / ( 1000 - 10 ) = 0.85455 となる。
   
   • 相関係数が正の場合「二変数には正の相関関係がある」という（正相関）
   • 相関係数が負の場合「二変数には負の相関関係がある」という（負相関）
   • 相関係数が０に近いとき「二変数は無相関である」という

表 2．スピアマンの順位相関係数の計算例

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
変数 Xi の順位	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
変数 Yi の順位	2	4	1	3	7	6	5	10	8	9
順位の差 di	-1	-2	2	1	-2	0	2	-2	1	1	Σ di = 0
順位の差の二乗 di2	1	4	4	1	4	0	4	4	1	1	Σ di2 = 24

注：

• どちらか一方（または両方）の変数において全てのケースが同一の値をとる 場合には，スピアマンの順位相関係数は定義できない。
  
• 同順位がある場合には，変数 X，変数 Y における同順位の個数を nx ，ny ，同順位の大きさを ti ，tj（i = 1，2， ... ，nx；j = 1，2， ... ，ny ）としたとき，次式で計算される。同順位がない場合には Tx = Ty = 0 となり，前式に等しくなる。