コール・ホップ変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/03 09:38 UTC 版)
「カーダー・パリージ・ザン方程式」の記事における「コール・ホップ変換」の解説
高さの関数 h ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle h\left({\vec {x}},t\right)} を関数 W ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle W\left({\vec {x}},t\right)} を用いて、 h ( x → , t ) = ( 2 ν / λ ) ln W ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle h\left({\vec {x}},t\right)=\left(2\nu /\lambda \right)\ln W\left({\vec {x}},t\right)} と変換すると、KPZ方程式は以下のように書き直される。この変換をコール・ホップ変換という。 ∂ W ∂ t ( x → , t ) = ν ∇ 2 W ( x → , t ) + λ 2 ν η ( x → , t ) W ( x → , t ) . {\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial t}}\left({\vec {x}},t\right)=\nu \nabla ^{2}W\left({\vec {x}},t\right)+{\frac {\lambda }{2\nu }}\eta \left({\vec {x}},t\right)W\left({\vec {x}},t\right).} これは時間依存するランダム・ポテンシャル中での拡散方程式になっている。この方程式の解は形式的に、以下の形に書ける。 W ( x → , t ) = ∫ ( 0 → , 0 ) ( x → , t ) D x → ′ ( t ′ ) exp { − ∫ 0 t d t ′ [ ν 2 ( d x → ′ ( t ′ ) d t ′ ) 2 + λ 2 ν η ( x → ′ , t ′ ) ] } . {\displaystyle \displaystyle W\left({\vec {x}},t\right)=\int _{({\vec {0}},0)}^{({\vec {x}},t)}D{\vec {x}}\,'\left(t'\right)\exp \left\{-\int _{0}^{t}dt'\left[{\frac {\nu }{2}}\left({\frac {d{\vec {x}}\,'\left(t'\right)}{dt'}}\right)^{2}+{\frac {\lambda }{2\nu }}\eta \left({\vec {x}}\,',t'\right)\right]\right\}.} 上記の経路積分より、 W ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle W\left({\vec {x}},t\right)} は、 ( 0 → , 0 ) {\displaystyle \textstyle ({\vec {0}},0)} と ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle \left({\vec {x}},t\right)} を結ぶ、 d + 1 {\displaystyle \textstyle d+1} 次元空間上の方向付きの高分子 (directed polymer; DP) のすべての配位に対するボルツマン因子の和であると見なせる。
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