完備距離空間とは？わかりやすく解説

位相空間論あるいは解析学において、距離空間 $M$ が完備（かんび、英: complete）またはコーシー空間（コーシーくうかん、英: Cauchy space）であるとは、 $M$ 内の任意のコーシー点列が $M$ に属する極限を持つ（任意のコーシー点列が収束する）ことを言う。

直観的に言えば、空間が完備であるというのは（その内側や境界において）点を追いかけると「空間からはみ出してしまう」ということが起きないということである。例えば、有理数全体の成す集合 $ℚ$ は完備でないが、これは例えば2 の正の平方根は、それに収束する有理コーシー数列が構成できるにも拘らず、有理数ではないので $ℚ$ からははみ出してしまう（後述）。「こういった抜けを全て埋めてしまう」という考えは後述するように、空間の完備化 (completion) として常に可能である。

例

有理数全体の成す集合に差の絶対値によって定義される標準距離函数を備えた空間 $ℚ$ は完備でない。例えば

x_{1}=1,\quad x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}

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