ガロア理論の基本定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/03 01:54 UTC 版)
詳細は「ガロア理論の基本定理」を参照 体 L を体 K の有限次ガロア拡大とする。L と K の中間体 M と Gal(L/K) の部分群 H について次の式が成立つ。 M = L Gal ( L / M ) , H = Gal ( L / L H ) . {\displaystyle M=L^{\operatorname {Gal} (L/M)},~~H=\operatorname {Gal} (L/L^{H}).} ただし、Gal(L/M) は拡大 L/K のガロア群であり、LH は L の元のうちで H の下で不変になっているもののなす L の部分拡大を指す。 したがって、L の中間体 M とガロア群 Gal(L/K) の部分群 H の間の対応 ϕ : M → H = Gal ( L / M ) , ψ : M = L H ← H {\displaystyle \phi :M\to H=\operatorname {Gal} (L/M),~~\psi :M=L^{H}\leftarrow H} は互いに逆で、これらは全単射になることがわかる。また、この対応はあきらかに包含関係を逆にしている。つまり、M1 ⊃ M2 ならば φ(M1) ⊂ φ(M2), G1 ⊃ G2 なら ψ(G1) ⊂ ψ(G2) となる。
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ガロア理論の基本定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/20 04:19 UTC 版)
詳細は「ガロア理論の基本定理」を参照 体 L を体 K の有限次ガロア拡大とする。「L と K の中間体 M」 と 「Gal(L/K) の部分群 H」 について次の式が成立つ。 M = L Gal ( L / M ) , H = Gal ( L / L H ) . {\displaystyle M=L^{\operatorname {Gal} (L/M)},~~H=\operatorname {Gal} (L/L^{H}).} ただし、Gal(L/M) は拡大 L/M のガロア群であり、LH は H の作用で不変な L の元を集めた L の部分体を指す。 したがって、「L と K の中間体 M」 と 「ガロア群 Gal(L/K) の部分群 H」の間の相互の対応を与える写像 ϕ : M → H = Gal ( L / M ) , ψ : M = L H ← H {\displaystyle \phi :M\to H=\operatorname {Gal} (L/M),~~\psi :M=L^{H}\leftarrow H} は互いに逆であり、全単射になることがわかる。また、この対応はあきらかに包含関係を逆にしている。 つまり、中間体が M1 ⊃ M2 ならば φ(M1) ⊂ φ(M2) であり、部分群が H1 ⊃ H2 ならば ψ(H1) ⊂ ψ(H2) となる。
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