ばね‐質量系の固有振動
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/11/18 16:11 UTC 版)
質量mの物体を一端を固定したばね定数kのばねの他端に取り付けて、摩擦の無い水平面上に置く。 右向きを正にx軸をとり、ばねが自然長の時の物体の位置を0とする。 物体を正の向きに移動させるとばねが伸び、負の向きに移動させるとばねは縮む。 いずれもばねはフックの法則に従うため、物体の変位をx、物体がばねから受ける力をFとすると F = − k x {\displaystyle F=-k\,x} … (1-1) が成り立つ。また物体の加速度をxの時間tによる2階微分で表すと、 ニュートンの運動方程式は m d 2 x d t 2 = F {\displaystyle m{d^{2}x \over dt^{2}}=F} … (1-2) である。 (1-1)と(1-2)から m d 2 x d t 2 = − k x {\displaystyle m{d^{2}x \over dt^{2}}=-kx} … (1-3) を得る。この2階微分方程式を解くと一般解は x = A sin ( ω t + ϕ ) {\displaystyle x=A\,\sin(\omega t+\phi )} … (1-4) となる。ただし A , ω , ϕ {\displaystyle A,\omega ,\phi } は定数で ω = k m {\displaystyle \omega ={\sqrt {k \over m}}} である。 このときのωがばね-質量系の固有角振動数である。
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