跡 (線型代数学) フロベニウス内積・ノルム

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跡 (線型代数学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/06/02 14:49 UTC 版)

フロベニウス内積・ノルム

複素 m × n 行列 A に対し、∗ は共軛転置とすれば、

$\operatorname {tr} (A^{*}A)\geq 0$

が成り立つ。なお、等号成立⇔ A = 0 である。これにより、対応

$\langle A,B\rangle =\operatorname {tr} (B^{*}A)$

は m × n 行列全体の成す空間における内積の性質を満たす。特に実行列の場合には、

$\operatorname {tr} (X^{\top }Y)=\operatorname {tr} (XY^{\top })=\operatorname {tr} (Y^{\top }X)=\operatorname {tr} (YX^{\top })=\sum _{i,j}X_{ij}Y_{ij}$

はベクトルの点乗積に類似の形であることが確認できる（行列の一列化を通じて実際にベクトルの点乗積として

$\operatorname {tr} (X^{\top }Y)=\operatorname {vec} (Y)\cdot \operatorname {vec} (X)=\operatorname {vec} (X)\cdot \operatorname {vec} (Y)$

と記述できる）。アダマール積を使って書くこともできる。しばしばベクトルの演算を行列に対して一般化する際に積のトレースが現れるのはこのような事情による。

この内積に対応するノルムをフロベニウスノルムと呼ぶ。これは実際、行列を単に長さ m × n のベクトルと見做したときのユークリッドノルムである。

したがって時に A, B が同じサイズの半正定値行列ならば

$0\leq \operatorname {tr} (AB)^{2}\leq \operatorname {tr} (A^{2})\operatorname {tr} (B^{2})\leq \operatorname {tr} (A)^{2}\operatorname {tr} (B)^{2}$

が成り立つ。