二項定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/03/11 03:50 UTC 版)
証明
帰納的証明
数学的帰納法とパスカルの法則により、簡単に証明できる。
- n = 0
により成り立つ。
以下、非負整数 n に関する帰納法で示す。
ある n について成り立つと仮定する。
より、
となり、パスカルの法則を用いて
を得る。これは所期の式である[11]。
組合せ論的証明
n個の (x + y) の積を一度に展開し切ることにより、より直接的に、直観的な証明ができる[12]。
一度に展開すると、それぞれの (x + y) から x または y を取った文字 n個の総乗の総和となる。
これらの積のうち、並び替えて xn−kyk (k = 0, 1, …, n) になるものは、(n − k)個の x、k個の y を並べる場合の数だけあるから、二項係数 (n
k)、すなわち xn−kyk の係数は nCk となる。
- 注
- n個の積を一度に展開し切る方法により、次のことも分かる:
- 等式
- において n個の Y を区別して Y1, Y2, …, Yn と考えた場合、展開式は基本対称式 σk を用いて
- と書ける。
脚注
参照
- ^ a b Weisstein, Eric W. "Binomial Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
- ^ a b c d Coolidge, J. L. (1949). “The Story of the Binomial Theorem”. The American Mathematical Monthly 56 (3): 147-157 .
- ^ a b c Jean-Claude Martzloff; S.S. Wilson; J. Gernet; J. Dhombres (1987). A history of Chinese mathematics. Springer
- ^ a b Biggs, N. L. (1979). “The roots of combinatorics”. Historia Math. 6 (2): 109-136. doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0.
- ^ a b O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
- ^ Landau, James A. (1999年5月8日). “Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] Pascal's Triangle” (mailing list email). Archives of Historia Matematica. 2007年4月13日閲覧。[リンク切れ]
- ^ 『シュティーフェル』 - コトバンク
- ^ a b c Kline, Morris (1972). History of mathematical thought. Oxford University Press. p. 273
- ^ Bourbaki, N. J. Meldrum訳 (1998-11-18). Elements of the History of Mathematics Paperback. ISBN 978-3540647676
- ^ 『二項定理の意味と係数を求める例題・2通りの証明』 - 高校数学の美しい物語
- ^ Binôme de Newton : démonstration par récurrence. - YouTube
- ^ Binôme de Newton : approche par dénombrement. - YouTube
- ^ E.ハイラー、G.ヴァンナー 『解析教程(上)』p.29 シュプリンガー・ジャパン
- ^ Seely, Robert T. (1973). Calculus of One and Several Variables. Glenview: Scott, Foresman. ISBN 0-673-07779-9
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