ランベルトのW関数
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用語について
ランベルト W-函数はヨハン・ハインリヒ・ランベルトに因んで名づけられた。Digital Library of Mathematical Functions では主枝 W0 を Wp, 分枝 W−1 は Wm と書いている。ここでの表記の規約(つまり W0, W−1)はランベルト W に関する標準的な参考文献Corless et al. (1996)[2]に従った。
歴史
ランベルトは初め「ランベルトの超越方程式」に関連して1758年に考察した[3]。これはレオンハルト・オイラーの1783年の wew の特別な場合を論じた論文[4]に繋がる。
ランベルト W-函数は、特殊化された応用において、十年程度毎に「再発見」されてきた[要出典]。1993年には、等電荷に対する量子力学的二重井戸型ディラックデルタ函数モデル(物理学における基本問題)の厳密解をランベルト W-函数が与えることが報告されたとき、コーレスら計算機代数システムMapleの開発者たちはライブラリを精査して、この函数が自然界に遍く存在することを発見した[2][5]。
微分積分学
導函数
を満たすことが示せる(z = −1/e では W は微分できない)。従って、W の導函数は
を満たす。ここで恒等式 eW(z) = z/W(z) を用いるならば、
と書きなおすこともできる。
原始函数
函数 W(x)(およびそれを含む多くの式)は、w = W(x), (x = wew) と置いた置換積分によって
と積分できる。
したがって、(W(e) = 1 であることも考慮して)等式
が得られる。
漸近展開
W0 の 0 を中心とするテイラー級数は、逆に解いて
ダランベールの収束判定法によると、収束半径は 1⁄e である。この級数の定める函数は、区間 (−∞, −1/e]に沿って分岐切断を入れれば、ガウス平面の全域で定義される正則函数に延長することができる。この正則函数をランベルト W 函数の主値と定める。
x が十分大きければ、W0 は漸近的に
と展開される。ただし、L1 = ln(x), L2 = ln(ln(x)) であり、[k
n ] は非負の第一種スターリング数である[6]。
もう一つの、区間 (−∞, −1/e] 上で定義される実函数な枝 W−1 は、L1 = ln(−x), L2 = ln(−ln(−x)) と書けば、x が十分 0 に近いとき同じ形の漸近展開を持つ。
x ≥ e なるとき、
という上下の評価が成り立つ[7]。また もう一つの枝 W−1 の評価は u > 0 に対して
となる[8]。
整数冪・複素数冪の展開
W0 の整数乗もまた 0 において単純なテイラー級数(あるいはローラン級数)展開を持つ。例えば
より一般に、ラグランジュの反転公式を用いれば、r ∈ Z に対して
となることが示せる(これは一般に、位数 r のローラン級数になっている)。あるいは同じことだが、この式を W0(x)/x の冪に関するテイラー級数として
と書くことができる。これは任意の r ∈ C と |x| < e−1 に対して成立する。
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- ^ Maxima, a Computer Algebra System
- ^ ProductLog at WolframAlpha
- ^ [1]
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