ランベルトのW関数 一般化

ウィキペディア

ランベルトのW関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/31 03:36 UTC 版)

一般化

通常のランベルト W は x に関する

$e^{-cx}=a_{0}(x-r)$

(1)

の形（ただし、a₀, c, r は実定数）の「超越代数」方程式の厳密解 x = r + 1/cW(ce^−cr/a₀) を記述することができる。

ランベルト W 函数の一般化として以下のようなものを挙げることができる:

• 低次元における一般相対論および量子力学（量子重力）（実は、両分野の繋がりは、以前には知られていなかった）への応用では、式 1 の右辺を今度は x の二次多項式とした

$e^{-cx}=a_{0}(x-r_{1})(x-r_{2})$

(2)

を考える。ここで、この二次多項式の根 r₁, r₂ は相異なる実定数とする。この方程式の解は一つの引数 x を持つ函数だが、r_i や a₀ のような項は解函数のパラメータとして働く。そのような側面で見れば、この一般化は超幾何函数やメイヤーG函数を作るのと似たような方式とも思えるが、これらの函数とは異なる「クラス」に属する。r₁ = r₂ のときは、式 2 の両辺は因数分解できて、1 に帰着されるから、解函数も通常の W 函数に還元される。式 2 はディラトン場を支配する方程式を表すから、それにより不等静止質量の場合に対する 1+1-次元（空間一次元・時間一次元）における R=Tあるいは「直列」(lineal) 二体重力問題の計量や、一次元の不等電荷に対する量子力学的二重井戸型デルタ函数モデルの固有エネルギーが導かれる。

• 量子力学的三体問題の特別の場合、具体的には（三次元）水素分子イオンの固有エネルギーの解析解の場合、今度は式 1 の（あるいは式 2 の）右辺を x に関する無限次多項式の比とした

$e^{-cx}=a_{0}{\frac {\prod _{i=1}^{\infty }(x-r_{i})}{\prod _{i=1}^{\infty }(x-s_{i})}}$

(3)

を考える。各 r_i, s_i は実定数、x は固有エネルギーと核間距離 R の函数である。式 3 は、その特別の場合として式 1 および 2 も含めて、遅延微分方程式の成す大きなクラスに関係する。

(1)式で表現される標準的な場合においても、原子・分子・光物理学 などの分野>からリーマン仮説に対するKeiper-Li基準に至るまで、ランベルトのW函数の応用分野についての議論は十分尽くされたとは言えていない。